polytope

Posez un point, puis imaginez un triangle et un tétraèdre. Ces trois objets appartiennent à une même famille, chacun dans une dimension différente. Le polytope est le nom qui prolonge cette famille au-delà des trois dimensions que nous visualisons facilement.

Chaque polytope se décrit par ses bords de dimension immédiatement inférieure, appelés hyperfaces. Dans un polychore, c'est-à-dire un polytope de dimension 4, ces hyperfaces sont des cellules en trois dimensions.

Un polytope généralise le polygone de dimension 2 et le polyèdre de dimension 3. Dans cette fiche, un polytope de dimension n, ou n-polytope, est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points dont l'enveloppe affine est de dimension n. En dimension 0, il s'agit d'un point unique ; en dimension 1, d'un segment fermé non réduit. Pour n ≥ 2, son bord est formé d'un ensemble fini non vide d'hyperfaces, elles-mêmes polytopes de dimension n − 1.

Pour n ≥ 2, trois propriétés organisent ces hyperfaces. Chaque face de dimension n − 2 d'une hyperface appartient à une seule autre hyperface. Deux hyperfaces quelconques peuvent être jointes par une chaîne d'hyperfaces adjacentes : le bord du polytope est connexe. Enfin, deux hyperfaces distinctes ont des intérieurs relatifs disjoints. Ces propriétés découlent de la réalisation convexe donnée au paragraphe précédent ; prises seules, elles ne suffisent pas à caractériser un polytope géométrique.

Le simplexe est le représentant le plus simple de la famille : triangle en dimension 2, tétraèdre en dimension 3. En dimension 4, un polytope porte aussi le nom de polychore et compte au minimum 5 sommets, 10 arêtes, 10 faces et 5 cellules. Le mot « polytope », introduit par Alicia Boole Stott, a remplacé les anciens termes « polyèdroïde » et « hyperpolyèdre ».

Un polytope possède des éléments emboîtés par dimension. Les sommets sont ses éléments de dimension 0. Les arêtes relient les sommets et ont dimension 1. Les faces sont de dimension 2. Dans un polychore, les cellules sont les hyperfaces de dimension 3 qui en forment le bord.

L'emboîtement ne suffit pas : chaque élément de dimension 2 d'une cellule doit aussi appartenir à une seule autre cellule, et les cellules adjacentes doivent former un ensemble connexe. Le non-croisement interdit à deux cellules distinctes de partager des points intérieurs. Ces relations définissent la structure ; la couleur, l'échelle ou l'orientation d'un dessin ne la changent pas. Sommets et relations d'incidence permettent notamment de compter arêtes, faces et cellules.

Considérons le simplexe de dimension 4. Ses données sont cinq sommets, nommés A, B, C, D et E, et des cellules qui sont des tétraèdres. Une arête est déterminée par deux sommets, une face triangulaire par trois sommets et une cellule par quatre sommets.

1. Choisissons deux sommets parmi les cinq. La notation binomiale qui suit compte les paires sans ordre : AB et BA désignent la même arête. Le nombre d'arêtes est donc :

2. Choisissons ensuite trois sommets pour chaque face triangulaire, puis quatre pour chaque cellule tétraédrique :

3. Nous obtenons exactement 5 sommets, 10 arêtes, 10 faces et 5 cellules, soit les nombres minimaux annoncés pour un polychore. Un contrôle porte sur les faces : chacune appartient à deux cellules. Les 5 cellules ont chacune 4 faces, donc donnent 20 incidences ; les 10 faces comptées deux fois donnent aussi 20. Le schéma d'incidence rend visibles les cinq sommets et les dix arêtes de cet exemple. Les croisements de segments viennent de la projection plane et ne représentent pas des intersections du polytope.

Pour classer un objet, on commence par sa dimension. Un bord polygonal relève de la dimension 2, un solide polyédrique de la dimension 3 et un assemblage de cellules tridimensionnelles de la dimension 4. Le mot polychore devient alors plus précis que le terme général polytope.

Pour vérifier une structure candidate, on examine ses hyperfaces. Chaque bord de dimension immédiatement inférieure doit être partagé par exactement deux hyperfaces, l'ensemble doit rester connexe et leurs intérieurs ne doivent pas se croiser. Ces trois tests sont des contrôles structurels nécessaires, mais ils ne suffisent pas à définir un polytope : leur réussite ne remplace pas la réalisation comme enveloppe convexe. Si l'un d'eux échoue, la structure candidate est écartée.

Pour obtenir un premier exemple dans une dimension donnée, le simplexe fournit le cas de référence : point en dimension 0, triangle en dimension 2, tétraèdre en dimension 3 et simplexe à cinq sommets en dimension 4.

Un polyèdre n'est pas un synonyme valable dans toutes les dimensions. Il désigne le cas de dimension 3, tandis que polytope couvre une dimension quelconque. Un tétraèdre est donc à la fois un polyèdre et un polytope de dimension 3.

Un simplexe n'est pas toute la famille des polytopes. C'est son représentant le plus simple dans chaque dimension. Le triangle et le tétraèdre tranchent le cas : ils sont des simplexes, alors qu'un autre polygone ou un autre polyèdre reste un polytope sans être ce représentant minimal.

Un polychore n'est pas une famille concurrente. Ce nom précise simplement qu'un polytope est de dimension 4. Le critère décisif est donc la dimension, non l'apparence de sa représentation.

Le cas de dimension 0 arrête la récursion : il s'agit d'un seul point. Chercher des hyperfaces de dimension négative ferait manquer ce cas de base ; il faut donc l'appliquer séparément.

Un assemblage de cellules peut sembler fermé sans former le polytope défini ici. Si un même bord appartient à plus ou moins de deux hyperfaces, ou si certaines hyperfaces restent dans une composante séparée, les conditions de partage et de connexité échouent.

Des hyperfaces distinctes peuvent se rencontrer sur leur bord, mais leurs intérieurs relatifs sont disjoints dans l'espace où le polytope est réalisé. Seul un croisement intérieur réel y enfreint cette propriété. Dans un dessin en projection, des arêtes ou des faces peuvent sembler se croiser sans se rencontrer dans le polytope : ce croisement visible est alors un simple artefact de projection.

En dimension 4, les nombres 5, 10, 10 et 5 sont des minima pour les sommets, arêtes, faces et cellules. Les lire comme les effectifs de tout polychore serait une erreur ; ils sont atteints par le simplexe de dimension 4 employé dans l'exemple.

Le simplexe - géométrie - prolonge l'exemple minimal et permet d'étudier comment triangle, tétraèdre et simplexe de dimension 4 appartiennent à une même construction.