GéométrieNotion · Glossaire
section plane d'un tétraèdre
La section d'un tétraèdre par un plan est la figure géométrique obtenue à l'intersection de ce solide avec le plan considéré. Selon l'orientation du plan de coupe par rapport aux faces du tétraèdre, la section obtenue peut être un triangle ou un quadrilatère. On obtient un triangle lorsque le plan coupe exactement trois faces ou arêtes du tétraèdre, et un quadrilatère lorsqu'il en coupe quatre. Dans tous les cas, la section est un polygone convexe dont les côtés sont des segments appartenant aux faces du tétraèdre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier une section triangulaire ou quadrilatérale.
- Construire la coupe en reliant les intersections face par face.
- Refaire un exemple coordonné donnant une section rectangulaire.
- Reconnaître les intersections dégénérées et les erreurs de perspective.
En clair
Imaginez un tétraèdre transparent traversé par une feuille parfaitement plane. La trace commune à la feuille et au solide est sa section plane. Son bord relie les points où la feuille rencontre les arêtes.
Quand la coupe traverse trois arêtes, cette trace est généralement un triangle. Si elle en traverse quatre, elle forme un quadrilatère. La section reste convexe : le segment joignant deux de ses points ne sort pas de la coupe.
Définition
Soit un tétraèdre, c'est-à-dire l'enveloppe convexe de quatre points non coplanaires, et soit un plan. Leur section est l'ensemble des points qui appartiennent à la fois au tétraèdre et au plan. Si le plan traverse l'intérieur sans passer par un sommet ni contenir une arête, le bord de la section rencontre trois ou quatre arêtes du solide.
Trois points d'intersection donnent une section triangulaire; quatre points donnent une section quadrilatérale. Deux sommets consécutifs de ce polygone appartiennent à une même face, et le côté qui les joint est précisément le segment découpé dans cette face. Comme un tétraèdre et un plan sont convexes, leur intersection est elle aussi convexe.
Le triangle et le quadrilatère décrivent les coupes non dégénérées. Sans l'hypothèse de traverser l'intérieur en évitant sommets et arêtes, l'intersection peut aussi être vide, réduite à un point ou à un segment, ou coïncider avec une face triangulaire.
Un exemple, pas à pas
On place le tétraèdre ABCD dans un repère avec A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), C(0; 4; 0) et D(0; 0; 4). Le plan de coupe a pour équation .
1. Sur l'arête AB, les coordonnées vérifient y = 0 et z = 0. L'équation donne x = 2 : le point obtenu est P(2; 0; 0).
2. Sur AC, elle donne de même Q(0; 2; 0).
3. Sur CD, où x = 0 et y + z = 4, on obtient R(0; 2; 2).
4. Sur BD, où y = 0 et x + z = 4, on obtient S(2; 0; 2).
2. Sur AC, elle donne de même Q(0; 2; 0).
3. Sur CD, où x = 0 et y + z = 4, on obtient R(0; 2; 2).
4. Sur BD, où y = 0 et x + z = 4, on obtient S(2; 0; 2).
La coupe est donc le quadrilatère PQRS. Chacun de ses côtés se trouve dans une face différente du tétraèdre. De plus, PQ et RS sont parallèles, tout comme QR et SP; PQ est perpendiculaire à QR. La section est donc un rectangle de côtés 2√2 et 2. Un contrôle direct consiste à remplacer x et y par les coordonnées de P, Q, R et S : leur somme vaut toujours 2.
En pratique
Dans un dessin en perspective, on commence par marquer les intersections du plan avec les arêtes. Sur chaque face touchée, deux points d'intersection déterminent un côté de la section. Cette construction face par face est préférable à un tracé à l'œil dès que certaines arêtes sont cachées.
Pour prévoir la forme, on compte les arêtes traversées en des points distincts. Trois points annoncent un triangle et quatre un quadrilatère, à condition que le plan traverse l'intérieur et ne passe par aucun sommet. Si cette condition échoue, il faut examiner séparément le cas dégénéré.
Dans un repère, on calcule chaque intersection en combinant l'équation du plan avec celle d'une arête. Cette voie algébrique est préférable lorsque des coordonnées sont données; le remplacement des coordonnées finales dans l'équation du plan fournit alors un contrôle immédiat.
À ne pas confondre
Une section plane n'est pas une projection. Chaque point de la section appartient réellement au tétraèdre et au plan de coupe; une projection déplace au contraire les points du solide sur un plan suivant une direction choisie. L'ombre plane d'un tétraèdre peut donc être quadrilatérale sans être une coupe.
Elle n'est pas non plus un patron. Un patron déplie les quatre faces sans les découper et doit permettre de reconstituer le solide. Une section ne conserve que la trace d'un unique plan à l'intérieur du tétraèdre.
Limites et pièges
Les formes triangle ou quadrilatère supposent une coupe non dégénérée. Si le plan reste entièrement à l'extérieur du tétraèdre, l'intersection est vide. S'il ne fait que toucher un sommet, elle peut se réduire à ce point; s'il soutient le solide le long d'une arête, elle peut se réduire à un segment.
Quand le plan contient une face entière, la section est cette face triangulaire. Il ne faut alors pas compter trois arêtes « traversées » comme dans une coupe ordinaire : le plan contient leurs points au lieu de les rencontrer en trois points isolés.
Un quadrilatère dessiné en perspective peut sembler concave ou croisé. C'est un effet du tracé ou un mauvais ordre de raccordement : dans chaque face, il faut relier seulement les deux points situés sur cette face. La véritable section d'un tétraèdre reste convexe et possède au plus quatre côtés.
Pour aller plus loin
La fiche tétraèdre permet de revoir les quatre faces, les six arêtes et la structure du solide avant d'étudier ses coupes.
Une étape suivante consiste à faire varier parallèlement le plan de coupe. La forme peut rester triangulaire ou quadrilatérale tandis que les longueurs et l'aire changent; les positions charnières apparaissent lorsque le plan atteint un sommet ou une arête.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres