GéométrieNotion · Glossaire
tétraèdre
Un tétraèdre est un polyèdre délimité par quatre faces triangulaires, ce qui en fait le polyèdre possédant le nombre minimal de faces possible. Il est géométriquement équivalent à une pyramide à base triangulaire. Un tétraèdre compte 4 sommets, 6 arêtes et 4 faces. À chaque sommet aboutissent exactement 3 arêtes, et chaque sommet est relié directement à tous les autres. Tout tétraèdre est inscriptible dans une sphère (sphère circonscrite), admet une sphère inscrite tangente aux quatre faces, ainsi que quatre sphères exinscrites. Le volume d'un tétraèdre se calcule par la formule V = (1/3) × B × h, où B désigne l'aire d'une face et h la hauteur perpendiculaire issue du sommet opposé à cette face. Le tétraèdre régulier, dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux, est l'un des cinq solides de Platon. Un tétraèdre est dit orthocentrique lorsque ses quatre hauteurs sont concourantes en un point unique appelé orthocentre. On distingue également le tétraèdre trirectangle, qui possède trois arêtes orthogonales se rencontrant en un sommet, et le tétraèdre équifacial, dont les quatre faces sont des triangles isométriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un tétraèdre à ses quatre faces, quatre sommets et six arêtes.
- Calculer un volume de 8 cm³ à partir d'une base de 6 cm² et d'une hauteur de 4 cm.
- Distinguer le tétraèdre quelconque de ses variantes régulière, orthocentrique, trirectangle et équifaciale.
- Éviter les cas dégénérés et associer correctement une base à sa hauteur.
En clair
Prenez quatre points qui ne sont pas tous dans un même plan et reliez chaque point aux trois autres. Vous obtenez une enveloppe faite de quatre triangles : un tétraèdre. On peut aussi le voir comme une pyramide dont la base est triangulaire.
Ses quatre sommets sont joints par six arêtes. Pour calculer la place qu'il occupe, choisissez une face comme base, mesurez son aire, puis la hauteur perpendiculaire du sommet opposé.
Définition
Un tétraèdre est un polyèdre composé de quatre faces triangulaires. C'est le polyèdre qui possède le plus petit nombre possible de faces, et c'est exactement une pyramide à base triangulaire. Il comporte quatre sommets et six arêtes. Trois arêtes aboutissent à chaque sommet, tandis que chaque sommet est directement relié aux trois autres.
Pour son volume, on choisit une face comme base. Si la lettre B désigne l'aire de cette face et si la lettre h désigne la distance perpendiculaire entre le sommet opposé et le plan de la base, alors . Tout tétraèdre possède une sphère circonscrite passant par ses quatre sommets, une sphère inscrite tangente aux quatre faces et quatre sphères exinscrites.
Le tétraèdre régulier a quatre faces équilatérales et appartient aux cinq solides de Platon. Un tétraèdre est orthocentrique lorsque ses quatre hauteurs passent par un même point, appelé orthocentre. Il est trirectangle lorsque trois arêtes deux à deux perpendiculaires se rencontrent en un sommet. Il est équifacial lorsque ses quatre faces sont des triangles isométriques.
Un exemple, pas à pas
Calculons le volume d'un tétraèdre ABCD en prenant le triangle ABC pour base.
Données :
L'aire de la base ABC vaut 6 cm2.
Le sommet opposé est D.
La hauteur perpendiculaire issue de D vaut 4 cm.
Données :
L'aire de la base ABC vaut 6 cm2.
Le sommet opposé est D.
La hauteur perpendiculaire issue de D vaut 4 cm.
1. La notation SABC désigne l'aire de la base ABC : SABC = 6 cm2. La lettre h désigne la hauteur correspondante : h = 4 cm.
2. On applique la formule du volume : .
3. On remplace et h par leurs valeurs : .
Le volume du tétraèdre ABCD est donc 8 cm3. Le dessin matérialise la face choisie comme base et la hauteur qui lui est perpendiculaire.
Pour contrôler le résultat, le prisme de même base et de même hauteur aurait un volume de 6 × 4 = 24 cm3. Le tétraèdre en occupe le tiers : 24 ÷ 3 = 8 cm3.
En pratique
Pour reconnaître un tétraèdre dans un dessin, comptez quatre sommets, puis vérifiez que chaque paire de sommets est reliée par une arête. Si la pyramide possède une base à quatre côtés, ce n'est pas un tétraèdre.
Pour calculer son volume, choisissez la face dont l'aire est la plus accessible et associez-lui la hauteur perpendiculaire issue du sommet opposé. Une autre face peut servir de base, mais elle exige sa propre hauteur correspondante.
Pour décider si le tétraèdre est régulier, examinez ses quatre faces : elles doivent toutes être équilatérales. Des faces seulement triangulaires suffisent à définir un tétraèdre quelconque, pas un tétraèdre régulier.
À ne pas confondre
Tétraèdre et triangle. Un triangle est une figure plane bordée par trois côtés. Un tétraèdre est un solide bordé par quatre faces triangulaires. Trois points suffisent au premier ; quatre sommets non coplanaires sont nécessaires au second.
Tétraèdre et pyramide à base quadrilatérale. Le tétraèdre est une pyramide à base triangulaire et possède quatre faces au total. Une pyramide dont la base a quatre côtés possède cette base et quatre faces latérales ; le nombre de faces les sépare immédiatement.
Tétraèdre et tétraèdre régulier. Le premier nomme toute la famille des polyèdres à quatre faces triangulaires. Le second impose quatre triangles équilatéraux : le tétraèdre ABCD de volume 8 cm3 n'est pas déclaré régulier par ses seules données d'aire et de hauteur.
Limites et pièges
Quatre points coplanaires. Si les quatre sommets sont dans un même plan, la hauteur correspondante vaut h = 0 et la formule donne V = 0. La figure est dégénérée : elle ne délimite pas un tétraèdre tridimensionnel.
Base et hauteur mal appariées. Chacune des quatre faces peut servir de base, mais la hauteur doit partir du sommet opposé et être perpendiculaire au plan de cette face. Une arête oblique ne peut pas remplacer automatiquement cette hauteur.
Propriétés particulières généralisées. Quatre faces triangulaires ne rendent pas forcément le tétraèdre régulier, orthocentrique, trirectangle ou équifacial. Il faut vérifier séparément les égalités de faces, la concurrence des hauteurs ou l'orthogonalité des arêtes exigées.
Pour aller plus loin
Pour prolonger l'étude, on peut comparer les quatre variantes décrites ici. Le tétraèdre régulier impose des faces équilatérales, l'équifacial des faces isométriques, l'orthocentrique des hauteurs concourantes et le trirectangle trois arêtes orthogonales en un sommet.
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