GéométrieObjet géométrique · Glossaire
prisme
Dans l'espace tridimensionnel, un prisme est un polyèdre constitué de deux faces polygonales simples, parallèles et congruentes, appelées bases, reliées entre elles par des faces latérales qui sont des parallélogrammes. Les arêtes reliant les sommets correspondants des deux bases sont appelées arêtes latérales ou génératrices. Lorsque les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, on parle de prisme droit. Lorsque les bases sont des parallélogrammes, le prisme est un parallélépipède ; s'il est rectangle, on l'appelle aussi pavé droit. Parmi tous les prismes, un seul est un polyèdre régulier : le cube. Pour tout nombre de côtés n au moins égal à 3, il existe, à similitude près, un unique prisme à faces régulières, qui appartient à la famille des polyèdres semi-réguliers. La notion de prisme peut être généralisée à des dimensions supérieures à 3 : on obtient alors des hyperprismes, qui sont des cas particuliers de polytopes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un prisme à ses deux bases polygonales parallèles et congruentes.
- Relier bases, faces latérales, sommets et génératrices dans un même schéma.
- Calculer le volume d’un prisme triangulaire droit et contrôler son décompte d’éléments.
- Distinguer les cas droit, oblique, à contour croisé, semi-régulier et de dimension supérieure.
En clair
Deux triangles identiques sont placés face à face, le second étant obtenu par translation du premier dans un plan parallèle. On relie chaque sommet du premier triangle au sommet correspondant du second. Les trois surfaces qui apparaissent entre eux sont des parallélogrammes : le solide obtenu est un prisme triangulaire.
Les deux triangles jouent le rôle de bases. Si les segments qui les relient partent à angle droit des bases, le prisme est droit. Sinon, il est oblique, comme une boîte que l’on aurait décalée sans tourner ses deux extrémités.
Définition
Dans l’espace tridimensionnel, un prisme est un polyèdre délimité par deux polygones simples parallèles et congruents, appelés bases. Chaque sommet d’une base est relié au sommet correspondant de l’autre. Ces arêtes latérales, ou génératrices, sont parallèles entre elles. Avec les côtés des bases, elles délimitent des faces latérales en forme de parallélogrammes.
Un prisme est droit lorsque ses arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases ; ses faces latérales sont alors des rectangles. Dans le cas contraire, il est oblique. Si les bases sont elles-mêmes des parallélogrammes, le prisme est un parallélépipède ; s’il est rectangle, on l’appelle aussi pavé droit. Le cube est l’unique prisme qui soit un polyèdre régulier.
À nombre de côtés fixé, il existe, à similitude près, un seul prisme dont toutes les faces sont des polygones réguliers : les bases sont régulières et les faces latérales sont des carrés. Hors le cas du cube, ces solides appartiennent à la famille des polyèdres semi-réguliers. En dimension supérieure à trois, la même construction donne des hyperprismes, cas particuliers de polytopes.
De quoi c'est fait
Un prisme ordinaire comporte deux bases, polygones congruents situés dans des plans parallèles. Leurs sommets vont par paires. Les arêtes latérales, aussi nommées génératrices, relient les sommets correspondants ; avec deux côtés correspondants des bases, chacune engendre une face latérale en forme de parallélogramme. Les côtés des bases complètent les arêtes du solide.
Si le nombre de côtés de chaque base polygonale simple est noté n, avec , le nombre de sommets S, d’arêtes E et de faces F vérifie . Ces relations suffisent à contrôler la structure avant un calcul d’aire ou de volume. L’orientation, la couleur, l’échelle du dessin et le choix de la face appelée base ne changent pas le prisme.
Un exemple, pas à pas
On considère un prisme droit. Chacune de ses bases est un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm. Les deux triangles sont congruents et parallèles. Les arêtes latérales, longues de 8 cm, relient les sommets correspondants et sont perpendiculaires aux bases.
1. Les deux côtés perpendiculaires du triangle mesurent 3 cm et 4 cm. Ils déterminent l’aire de la base.
2. Si B désigne l’aire d’une base, alors .
3. La hauteur h du prisme est la distance perpendiculaire entre les bases. Ici, elle coïncide avec une arête latérale, donc h = 8 cm.
4. Le volume V est le produit de l’aire de base par la hauteur : .
Le prisme a donc un volume de 48 cm3. Sa structure fournit un second contrôle : avec n = 3, il possède 6 sommets, 9 arêtes et 5 faces. Le calcul direct 3 × 4 × 8 ÷ 2 redonne 48.
En pratique
Pour reconnaître un prisme dans un dessin en perspective, on cherche d’abord deux faces polygonales congruentes et parallèles. Si cette paire manque, il vaut mieux décrire l’objet comme un polyèdre plus général plutôt que de se fier à son allure de boîte.
Pour calculer un volume, on choisit l’une des deux bases du prisme, puis on mesure la distance perpendiculaire entre leurs plans. Dans un prisme oblique, cette distance remplace la longueur inclinée d’une arête latérale.
Pour construire un modèle en papier, un patron met à plat les deux bases et toutes les faces latérales. Le critère décisif est le raccord des sommets correspondants : si les côtés ne coïncident pas au pliage, les dimensions ou l’ordre des faces doivent être corrigés.
À ne pas confondre
Prisme et pyramide. Un prisme possède deux bases polygonales congruentes et parallèles ; une pyramide possède une base et des faces latérales qui rejoignent un même sommet. Deux triangles dont l’un est la translation de l’autre, reliés par leurs sommets correspondants, tranchent donc en faveur du prisme.
Prisme et cylindre. Les bases d’un prisme sont polygonales et ses faces latérales sont planes. Un solide à bases circulaires possède au contraire une surface latérale courbe : même droit, il ne s’agit pas d’un prisme au sens polyédrique.
Limites et pièges
Prisme oblique. Une arête latérale inclinée n’est pas la hauteur. Le symptôme est l’absence d’angle droit avec le plan de base ; pour le volume, il faut employer la distance perpendiculaire entre les deux bases.
Base au contour croisé. Un contour qui se coupe lui-même ne délimite pas une base polygonale simple et reste hors de la définition usuelle du prisme. Une construction spécialisée exige une convention complète pour les intersections, les régions et les faces ; elle ne forme pas nécessairement un polyèdre au sens standard.
Mot « pavé ». Le terme peut être employé pour un parallélépipède, mais « pavé droit » désigne le cas dont les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases rectangulaires. La présence de bases parallélogrammes ne suffit donc pas à conclure que tous les angles sont droits.
Faces régulières. Des bases régulières ne rendent pas à elles seules le polyèdre régulier. À nombre de côtés fixé, les faces latérales doivent aussi être des carrés pour obtenir le prisme à faces régulières ; parmi tous les prismes, seul le cube est un polyèdre régulier.
Pour aller plus loin
Polyèdre : replace le prisme parmi les solides délimités par des faces planes.
Solide de Platon : précise pourquoi le cube est le seul prisme qui soit un polyèdre régulier.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres