GéométrieObjet géométrique · Glossaire
solide de Platon
Définition. Les solides de Platon désignent les cinq polyèdres réguliers convexes connus depuis l'Antiquité. Un polyèdre appartient à cette famille si toutes ses faces sont des polygones réguliers convexes identiques et si tous ses sommets sont de même degré, c'est-à-dire que le même nombre d'arêtes y converge.
Les cinq cas. On dénombre exactement cinq solides de ce type : le tétraèdre (4 faces triangulaires équilatérales), le cube ou hexaèdre (6 faces carrées), l'octaèdre (8 faces triangulaires), le dodécaèdre (12 faces pentagonales) et l'icosaèdre (20 faces triangulaires).
Pourquoi cinq seulement ? L'existence de ces cinq solides seulement, et pas davantage, est une propriété remarquable qui peut se démontrer par un argument combinatoire à partir de la formule d'Euler pour les polyèdres.
Les cinq cas. On dénombre exactement cinq solides de ce type : le tétraèdre (4 faces triangulaires équilatérales), le cube ou hexaèdre (6 faces carrées), l'octaèdre (8 faces triangulaires), le dodécaèdre (12 faces pentagonales) et l'icosaèdre (20 faces triangulaires).
Pourquoi cinq seulement ? L'existence de ces cinq solides seulement, et pas davantage, est une propriété remarquable qui peut se démontrer par un argument combinatoire à partir de la formule d'Euler pour les polyèdres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Nommer les cinq solides de Platon et relier chacun à son type de face et à son degré de sommet.
- Vérifier sur le cube les nombres de faces, d'arêtes et de sommets avec la formule d'Euler.
- Expliquer pourquoi l'inégalité portant sur p et q ne laisse que cinq couples possibles.
- Distinguer un solide de Platon d'un polyèdre qui ne satisfait qu'une partie des conditions.
En clair
Prenez un cube et faites-le tourner. Chaque face est le même carré, chaque arête joue le même rôle et trois arêtes se rencontrent à chaque sommet. Cette régularité dans toutes les directions en fait un solide de Platon.
On peut remplacer les carrés par certains triangles équilatéraux ou pentagones réguliers, mais les assemblages possibles sont très contraints. Il n'existe finalement que cinq formes convexes qui respectent toutes ces conditions.
Définition
Un solide de Platon est un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des copies d'un même polygone régulier convexe et dont tous les sommets ont le même degré. Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui y convergent. Ainsi, la seule régularité des faces ne suffit pas : leur assemblage doit aussi être identique autour de chaque sommet.
Si le nombre de côtés de chaque face est noté p et le nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet q, la famille comprend cinq couples. Le tétraèdre correspond à (3, 3), le cube ou hexaèdre à (4, 3), l'octaèdre à (3, 4), le dodécaèdre à (5, 3) et l'icosaèdre à (3, 5). Leurs nombres de faces sont respectivement 4, 6, 8, 12 et 20.
Ces cinq cas sont les seuls : la convexité et la fermeture du polyèdre imposent une contrainte sur p et q, que la formule d'Euler permet d'établir.
De quoi c'est fait
Un solide de Platon réunit quatre éléments : des faces polygonales, des arêtes communes à deux faces, des sommets où convergent les arêtes et un intérieur convexe. Le choix de la face fixe le nombre p de côtés qui bordent chacune d'elles. L'assemblage autour d'un sommet fixe le nombre q de faces qui s'y rencontrent.
Les nombres de faces F, d'arêtes E et de sommets V dépendent donc de p et de q. Chaque arête étant comptée sur deux faces et à deux sommets, on a et . Avec la relation d'Euler , ces données suffisent à calculer les nombres de faces, d'arêtes et de sommets. La couleur, l'orientation et l'échelle du dessin ne changent pas la nature du solide.
Un exemple, pas à pas
Vérifions la structure du cube.
Données :
Chaque face est un carré, donc p = 4.
Trois faces se rencontrent à chaque sommet, donc q = 3.
Le cube possède F = 6 faces.
Données :
Chaque face est un carré, donc p = 4.
Trois faces se rencontrent à chaque sommet, donc q = 3.
Le cube possède F = 6 faces.
1. Comptons les côtés des six faces. Comme chaque arête appartient à deux faces, le nombre d'arêtes est .
2. Comptons ensuite les extrémités d'arêtes. Trois arêtes convergent à chaque sommet, donc .
3. Le cube a ainsi 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Toutes ses faces sont des carrés identiques et tous ses sommets ont le même degré 3.
4. Le contrôle consiste à refaire la relation d'Euler : . Le résultat 2 confirme la cohérence du comptage.
En pratique
Pour identifier un modèle, examinez d'abord une face, puis comptez, à chaque sommet, le nombre de faces ou d'arêtes incidentes. Si la forme des faces ou ce nombre varie, le modèle n'est pas un solide de Platon.
Pour contrôler un patron ou une construction, comptez F, E et V, puis vérifiez que V − E + F vaut 2. Ce test repère une arête oubliée, mais il ne remplace pas la vérification de la régularité.
Pour nommer le solide, utilisez le couple (p, q). Le couple (4, 3) identifie le cube, tandis que (3, 4) identifie l'octaèdre : inverser les deux nombres change donc de solide.
À ne pas confondre
Polyèdre et solide de Platon. Un polyèdre peut avoir des faces ou des sommets de plusieurs types. Il appartient à la famille de Platon seulement s'il est convexe, si ses faces sont des polygones réguliers identiques et si tous ses sommets ont le même degré.
Face régulière et solide régulier. Observer des carrés ou des triangles équilatéraux ne suffit pas. Si l'assemblage n'est pas identique à chaque sommet, le polyèdre ne satisfait pas la seconde condition.
Cube et fonction cube. Le cube est ici un polyèdre à six faces carrées. La fonction cube associe à un nombre x le nombre x3 ; ce n'est pas un objet géométrique.
Limites et pièges
La formule d'Euler ne suffit pas à elle seule. Un polyèdre peut vérifier V − E + F = 2 sans avoir des faces identiques ni des sommets de même degré. Il faut toujours contrôler les deux conditions de régularité.
Pourquoi s'arrête-t-on à cinq cas ? Pour des faces à p côtés et des sommets de degré q, avec p et q entiers au moins égaux à 3, reprenons les trois relations déjà introduites. Le comptage par face exprime F comme deux fois E divisé par p ; le comptage par sommet exprime de même V comme deux fois E divisé par q. En reportant ces deux expressions dans la formule d'Euler, les trois termes dépendent du même nombre d'arêtes. Une fois ce facteur commun simplifié, le terme restant est strictement positif puisque E l'est. On obtient donc la condition suivante :
Les seuls couples possibles sont (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3) et (3, 5). Le cas charnière d'égalité, par exemple (4, 4), ne ferme pas un polyèdre convexe de cette famille ; il faut une inégalité stricte.
Le diagramme des couples entiers rend visible cette restriction : chaque point admissible correspond à un seul des cinq solides.
Pour aller plus loin
polyèdre — Précise le cadre géométrique général dont les solides de Platon forment une famille particulière.
formule d'Euler — Détaille la relation entre sommets, arêtes et faces qui contraint le nombre de solides possibles.
tétraèdre — Approfondit le cas à quatre faces triangulaires, associé au couple (3, 3).
dodécaèdre — Examine le solide à douze faces pentagonales, associé au couple (5, 3).
icosaèdre — Prolonge l'étude avec vingt faces triangulaires et cinq faces autour de chaque sommet.
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