GéométrieObjet géométrique · Glossaire
polyèdre
Dans l'espace tridimensionnel, un polyèdre est un solide délimité par un nombre fini de polygones plans, appelés faces. Les faces se rejoignent le long de segments appelés arêtes, et les arêtes se rencontrent en des points appelés sommets. Le nombre minimal de faces est quatre, correspondant au tétraèdre. La définition impose deux conditions structurelles : chaque côté de chaque face coïncide exactement avec un côté d'une autre face non coplanaire ; deux faces quelconques sont reliées par une chaîne de faces partageant chacune une arête avec la suivante (connexité). Dans la convention adoptée ici pour les polyèdres classiques, les intérieurs relatifs de deux faces distinctes sont disjoints ; les objets appelés polyèdres de Poinsot ou de Badoureau dans des conventions plus larges sont donc exclus de cette classe. À noter que le dièdre et le trièdre ne sont pas considérés comme des polyèdres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les faces, les arêtes et les sommets d'un polyèdre.
- Vérifier la fermeture et la connexité de ses faces.
- Recompter les 4 faces, 6 arêtes et 4 sommets d'un tétraèdre.
- Distinguer la définition large, les polyèdres classiques et les cas exclus.
En clair
Imaginez quatre triangles de carton réunis bord à bord pour fermer une petite boîte pointue. Chaque triangle devient une face, chaque pli une arête et chaque coin un sommet. L'objet obtenu est un tétraèdre, le polyèdre qui possède le moins de faces.
L'idée essentielle est la fermeture : aucun côté de face ne reste libre. Les faces forment aussi un seul assemblage, car on peut passer de l'une à n'importe quelle autre en franchissant des arêtes communes.
Définition
Un polyèdre est un solide de l'espace tridimensionnel dont la frontière est formée d'un nombre fini de polygones plans. Ces polygones sont ses faces. Deux faces voisines se rejoignent le long d'un segment, appelé arête, et plusieurs arêtes se rencontrent en un sommet. Un polyèdre possède au moins quatre faces ; le cas minimal est le tétraèdre.
Deux conditions organisent cet assemblage. Premièrement, chaque côté de chaque face coïncide exactement avec un côté d'une autre face non coplanaire. Deuxièmement, pour toute paire de faces, il existe une chaîne de faces telle que deux faces successives partagent une arête. Cette seconde propriété est la connexité des faces.
Dans la convention adoptée ici, on parle de polyèdre classique lorsque les intérieurs relatifs de deux faces distinctes sont disjoints, c'est-à-dire lorsque leurs intérieurs pris dans leurs plans ne se recouvrent pas. Les objets appelés polyèdres de Poinsot ou de Badoureau dans des conventions plus larges ne sont donc pas classés ici parmi les polyèdres classiques. Le dièdre et le trièdre, malgré leur nom, ne sont pas considérés comme des polyèdres.
De quoi c'est fait
La structure d'un polyèdre repose sur trois éléments. Une face est un polygone plan qui borne le solide. Dans la convention adoptée ici, les faces coplanaires adjacentes sont réunies en faces maximales, et une arête est un côté commun à deux faces non coplanaires. Un sommet est un point où se rencontrent des arêtes. Les faces déterminent donc les arêtes par leurs côtés communs, puis les arêtes déterminent les sommets par leurs extrémités communes.
Il faut encore considérer l'enchaînement des faces : chaque face doit être reliée aux autres par des voisinages le long d'arêtes. Ces relations permettent de vérifier la fermeture et la connexité de l'assemblage. L'orientation, la couleur, la taille ou le style du dessin ne définissent pas le polyèdre. Une représentation du tétraèdre peut ainsi changer d'échelle tout en conservant quatre faces triangulaires, six arêtes et quatre sommets.
Un exemple, pas à pas
Données. Considérons un tétraèdre dont les quatre sommets sont nommés A, B, C et D. Ses quatre faces triangulaires sont ABC, ABD, ACD et BCD. Il s'agit de compter ses faces, ses arêtes et ses sommets sans compter deux fois une même jonction.
1. La liste donnée contient quatre triangles distincts : le solide possède donc 4 faces.
2. Chaque triangle a trois côtés, soit 12 occurrences de côtés. Comme chaque arête appartient exactement à deux faces, il faut diviser ce total par deux.
3. Le résultat se contrôle en énumérant les arêtes : AB, AC, AD, BC, BD et CD. Il y en a bien 6, chacune apparaissant dans deux des faces annoncées.
4. Les lettres distinctes A, B, C et D donnent 4 sommets. Le bilan vérifiable du tétraèdre est donc de 4 faces, 6 arêtes et 4 sommets.
En pratique
Pour vérifier une maquette en carton, suivez chaque côté d'une face. Si un côté reste libre, l'assemblage n'est pas un polyèdre fermé : il faut vérifier si la surface peut être complétée, sans supposer qu'une telle complétion existe ni qu'elle soit unique, plutôt que compter ce bord comme une arête achevée.
Pour inventorier un modèle complexe, marquez d'abord les faces, puis les arêtes communes et enfin les sommets. Une liste des jonctions est préférable au simple coup d'œil dès que des arêtes se cachent derrière le solide.
Pour tester la connexité, partez d'une face et franchissez seulement des arêtes partagées. Si certaines faces restent inaccessibles, traitez les groupes comme des assemblages séparés plutôt que comme un unique polyèdre.
À ne pas confondre
Polyèdre et polygone. Un polygone est plan ; dans un polyèdre, les polygones sont les faces d'un solide tridimensionnel. Un triangle isolé est donc une face possible, mais il n'est pas à lui seul un polyèdre.
Polyèdre et solide à surface courbe. Les faces d'un polyèdre sont des polygones plans. Dès qu'une partie de la frontière est courbe, elle ne constitue pas une face polygonale ; le solide ne répond donc pas à cette définition du polyèdre.
Limites et pièges
Moins de quatre faces. Quatre est le seuil minimal, atteint par le tétraèdre. Un assemblage présenté comme un dièdre ou un trièdre reste donc hors de la classe des polyèdres ; il ne faut pas prolonger la terminologie au seul motif de son nom.
Bord libre ou faces coplanaires. Si le côté d'une face n'est pas exactement partagé avec une autre face non coplanaire, la condition d'assemblage échoue. Il faut vérifier si l'assemblage peut être complété pour fermer la surface, sans supposer qu'une telle complétion existe ni qu'elle soit unique ; sinon, il faut décrire une surface polygonale non fermée.
Groupes déconnectés. Deux faces qui ne peuvent être reliées par aucune chaîne de faces adjacentes signalent plusieurs assemblages. Il faut les étudier séparément, même si le dessin les montre très proches.
Faces qui se rencontrent en leur intérieur. L'objet peut relever de la définition large, mais pas de celle d'un polyèdre classique. Les polyèdres de Poinsot ou de Badoureau illustrent cette exclusion : il faut annoncer la convention employée au lieu de les classer implicitement parmi les classiques.
Pour aller plus loin
tétraèdre — Examiner en détail le polyèdre minimal utilisé dans l'exemple.
polyèdre convexe — Distinguer une propriété géométrique supplémentaire de la définition générale.
formule d'Euler — Relier les nombres de faces, d'arêtes et de sommets.
Polyèdres : de la formule d'Euler à la caractérisation de Poincaré — Prolonger le comptage vers une caractérisation topologique.
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