polyèdre convexe

Imaginez un cube plein et choisissez deux points, même tout près de deux coins opposés. Le trait droit qui les relie ne sort jamais du cube. Cette absence de creux rentrant est l'idée de la convexité.

Un autre test consiste à prolonger chaque face en un plan infini. Tout le solide doit rester dans un seul des deux demi-espaces délimités par ce plan. Une seule face laissant de la matière des deux côtés suffit à révéler un polyèdre non convexe.

Un polyèdre convexe est un solide polyédrique qui est aussi un ensemble convexe. Si le solide est noté P, choisissez deux points quelconques A et B dans P. La condition exacte est que tout le segment d'extrémités A et B appartienne encore à P : $[A,B]\subset P[A,B]\; \backslash subset\; P$. Les points de la frontière sont admis ; le segment n'a pas besoin de rester dans l'intérieur strict.

Pour un polyèdre fermé dont les faces bordent le solide, le même critère se lit face par face. Le plan qui porte chaque face est un plan d'appui : le polyèdre entier appartient à l'un des deux demi-espaces fermés qu'il délimite. Le solide est ainsi l'intersection des demi-espaces fermés associés à ses faces. Cette formulation dépend du solide entier, pas seulement de la liste de ses sommets ni de l'apparence de sa projection. La figure proposée rend visible le critère du segment sur le cube utilisé dans l'exemple.

La matière du solide comprend son intérieur et sa frontière. Les faces sont des polygones plans qui composent cette frontière. Deux faces voisines se rencontrent suivant une arête, et plusieurs arêtes aboutissent à un sommet. Chaque face appartient enfin à un plan porteur, qui partage l'espace en deux demi-espaces.

Les arêtes et les sommets dépendent donc de la manière dont les faces se raccordent. La convexité impose en plus une relation globale : pour chaque plan porteur, toutes les autres parties du solide restent dans le même demi-espace fermé. La géométrie des faces et leurs raccordements suffisent à reconstruire la frontière et à tester le solide. Sa couleur, son orientation dans l'espace et son échelle de dessin ne changent pas sa convexité.

Considérons le cube plein P de côté 1. Dans un repère, ses données sont les six contraintes 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 et 0 ≤ z ≤ 1. Prenons les points A de coordonnées (1/4, 1/4, 1/4) et B de coordonnées (3/4, 3/4, 3/4).

1. Un point du segment AB est repéré par un nombre t compris entre 0 et 1. Ses trois coordonnées valent :

2. Quand t parcourt l'intervalle de 0 à 1, chaque coordonnée de X(t) reste comprise entre 1/4 et 3/4. Elle respecte donc les six contraintes du cube.

3. Ainsi, chaque point de AB appartient à P. Le même calcul fonctionne pour toute paire de points du cube, car chaque coordonnée intermédiaire reste entre les coordonnées des extrémités.

4. Pour contrôler autrement le résultat, les six faces sont portées par les plans x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 et z = 1. Le cube reste, pour chacun, dans le demi-espace fermé indiqué par les contraintes initiales.

Pour contrôler un modèle de solide, choisissez plusieurs paires de points placés de part et d'autre d'une zone qui semble rentrer vers l'intérieur. Si un segment traverse l'extérieur, le modèle n'est pas convexe. Ce test fournit un contre-exemple, mais quelques segments réussis ne constituent pas une preuve.

Lorsque les équations des faces sont connues, le test par demi-espaces est préférable. Il faut vérifier que tous les sommets sont du même côté du plan de chaque face, les sommets de cette face pouvant être sur le plan.

Sur un dessin en perspective, l'œil peut suggérer un creux qui n'existe pas. Il vaut alors mieux revenir aux faces, aux coordonnées ou aux segments du solide en trois dimensions plutôt que conclure d'après la silhouette plane.

Polyèdre convexe et polyèdre régulier. La convexité porte sur les segments et les demi-espaces ; la régularité impose des faces et des sommets de même type. Un pavé droit dont les trois dimensions sont différentes est convexe sans être régulier.

Polyèdre et enveloppe convexe. L'enveloppe convexe d'un polyèdre est le plus petit ensemble convexe qui le contient. Pour un polyèdre déjà convexe, elle coïncide avec le solide ; pour un polyèdre creusé, elle comble les rentrants.

Face convexe et solide convexe. Des faces polygonales toutes convexes ne suffisent pas à rendre le solide convexe. Un assemblage peut présenter un rentrant entre ces faces ; un segment reliant deux de ses points sort alors du solide.

La frontière compte. Un segment peut longer une face ou une arête sans invalider la convexité. Le critère demande l'appartenance au solide fermé, et non à son seul intérieur. Il faut donc employer des demi-espaces fermés et accepter l'égalité sur leurs plans.

Une vue plane ne tranche pas. Une projection peut masquer un rentrant ou superposer des arêtes. Le symptôme est une silhouette convexe alors que certaines faces passent devant d'autres. Le contrôle doit porter sur le solide en trois dimensions.

Tester quelques segments ne prouve rien. Un seul segment sortant suffit à réfuter la convexité, mais dix segments contenus ne couvrent pas toutes les paires de points. Pour conclure positivement, il faut une preuve globale, par exemple l'intersection des demi-espaces des faces.

Le plan doit porter une face de la frontière. Un plan choisi arbitrairement peut couper un polyèdre convexe en deux. Ce n'est pas un échec du critère : seuls les plans porteurs des faces doivent laisser tout le solide dans un même demi-espace fermé.

Polyèdre. Retrouvez le vocabulaire des faces, arêtes et sommets avant d'étudier la propriété supplémentaire de convexité.

Concept de convexité. Replacez le critère des segments dans le cadre plus large des ensembles convexes.