polyèdre non convexe

Imaginez un bloc en forme de L, avec une encoche rentrée dans sa silhouette. Deux points peuvent appartenir au bloc alors que le segment droit qui les relie traverse le vide de l’encoche. Cette rentrée est le signe décisif : le polyèdre est non convexe.

Le même défaut se lit sur certaines faces. Le plan qui prolonge une face située dans l’encoche laisse alors des morceaux du polyèdre de part et d’autre, au lieu de soutenir tout le solide d’un seul côté.

Un polyèdre non convexe est un polyèdre dont l’ensemble des points n’est pas convexe. Autrement dit, il existe deux points du polyèdre tels qu’une partie du segment qui les joint soit extérieure au polyèdre. En notant ces points A et B, le segment est l’ensemble décrit par $[A,B]=\{(1-t)A+tB\mid 0\le t\le 1\}[A,B]=\backslash \{(1-t)A+tB\backslash mid\; 0\backslash le\; t\backslash le\; 1\backslash \}$. Il suffit qu’une valeur du nombre t donne un point extérieur pour établir la non-convexité.

Le critère formulé dans la définition de référence porte sur les faces. Le plan contenant chaque face d’un polyèdre convexe est un plan d’appui : tout le polyèdre reste dans l’un des deux demi-espaces fermés qu’il délimite. Pour un polyèdre non convexe, au moins un plan de face coupe la répartition du solide : certaines de ses portions se trouvent dans chacun des deux demi-espaces.

Cette propriété ne dépend ni de la position du polyèdre dans l’espace, ni de sa taille, ni de sa couleur. Une rotation, une translation ou un changement uniforme d’échelle conserve les segments, les faces et la non-convexité.

Un polyèdre comporte des faces, qui sont des régions planes, des arêtes, où deux faces se rejoignent, et des sommets, où plusieurs arêtes aboutissent. Ces éléments délimitent l’intérieur du solide. Le contour de chaque face dépend de ses arêtes, tandis que l’assemblage cohérent des faces ferme la frontière du polyèdre.

Pour étudier la convexité, on ajoute à chaque face son plan porteur, c’est-à-dire le plan entier qui la contient. Une face située dans un renfoncement peut avoir un plan porteur qui laisse d’autres portions du solide des deux côtés. Les incidences entre sommets, arêtes et faces construisent la forme ; leurs coordonnées permettent ensuite de tester les plans d’appui et les segments. L’orientation du dessin ou le choix de la face placée en bas ne font pas partie de la structure.

Considérons un prisme droit de hauteur 2 dont chaque section horizontale est un L. Dans le plan des coordonnées x et y, cette section réunit les rectangles 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1 et 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3. Les points choisis sont A = (0,5 ; 2 ; 1) et B = (2 ; 0,5 ; 1).

1. Le point A appartient à la branche verticale du L, car 0,5 ≤ 1 et 0 ≤ 2 ≤ 3.

2. Le point B appartient à la branche horizontale, car 0 ≤ 2 ≤ 3 et 0,5 ≤ 1. Les deux points ont aussi une hauteur égale à 1, comprise entre 0 et 2.

3. Le milieu M du segment reliant A à B vaut $M=\frac{A+B}{2}=(\mathrm{1,25};\mathrm{1,25};1)M=\backslash frac\{A+B\}\{2\}=(1\{,\}25\backslash ,;1\{,\}25\backslash ,;1)$.

4. À la hauteur 1, le point M est dans l’encoche : ses coordonnées x et y sont toutes deux strictement supérieures à 1. Il n’appartient donc à aucun des deux rectangles. Le segment [A,B] n’est pas entièrement contenu dans le prisme, ce qui prouve que ce polyèdre est non convexe. Le contrôle se refait en plaçant M sur la section en L : il tombe dans la zone retirée.

Pour contrôler un modèle géométrique, on cherche d’abord un renfoncement. Deux points pris dans des branches différentes peuvent fournir un segment témoin ; un seul point du segment situé hors du solide suffit. Si aucun renfoncement n’apparaît, le contrôle par les plans des faces est plus systématique.

Avec des coordonnées, on examine le plan de chaque face et le signe obtenu pour les autres sommets. Des signes strictement positifs et strictement négatifs pour un même plan révèlent des sommets de part et d’autre, donc l’échec du plan d’appui.

Pour fabriquer ou représenter l’enveloppe convexe d’un objet, on remplace les rentrées par la plus petite forme convexe qui contient le polyèdre. Cette alternative convient lorsque l’on veut une enveloppe extérieure ; elle ne conserve pas les encoches du modèle initial.

Un polyèdre convexe contient tout segment joignant deux de ses points. Dans le prisme en L, le milieu M de [A,B] est extérieur : ce cas tranche immédiatement en faveur d’un polyèdre non convexe. Un polyèdre convexe ne possède pas ce type de segment témoin.

L’enveloppe convexe d’un polyèdre non convexe est une autre forme : elle comble les renfoncements afin de contenir le polyèdre dans un ensemble convexe. Pour le prisme en L, elle contient notamment le point M situé dans l’encoche du solide initial.

Le plan prolongeant une face fournit un test géométrique : pour un polyèdre convexe, toutes les portions du solide restent dans un même demi-espace fermé délimité par ce plan. Changer l’orientation ou le point de vue du solide ne modifie pas ce test.

Un dessin en perspective peut donner l’impression d’une rentrée à cause des arêtes cachées. Cette impression ne suffit pas. Un segment témoin ou un plan de face laissant des points des deux côtés fournit un verdict géométrique indépendant du point de vue.

La présence d’une face inclinée ne rend pas un polyèdre non convexe. Le cas charnière est le plan porteur : des points situés sur ce plan sont admis, car les demi-espaces sont fermés ; il faut des portions strictement placées de part et d’autre pour faire échouer ce test.

Découper une face en triangles change le maillage de la surface, mais pas l’ensemble des points du solide. Une triangulation ne supprime donc pas l’encoche du prisme en L ; le même segment [A,B] continue de passer par un milieu extérieur.

Le polyèdre convexe donne le cas complémentaire : ses plans de faces sont des plans d’appui et tous ses segments internes restent dans le solide. Cette comparaison permet de relire le même test géométrique avec un verdict opposé.