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polyèdre de Fedorov
Un polyèdre de Fedorov est un polyèdre convexe capable de paver l'espace tridimensionnel par translation, c'est-à-dire de remplir l'espace sans laisser de vide ni créer de chevauchement. Cette notion a été étudiée par le cristallographe russe Evgraf Stepanovitch Fedorov (1853–1919). La classification de Fedorov distingue exactement cinq types combinatoires : le cube, le prisme hexagonal, l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique allongé et le dodécaèdre rhombique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux conditions d'un pavage de l'espace par translation.
- Suivre sur le cube unité une construction reproductible avec trois translations.
- Nommer les cinq types de la classification et comprendre la portée de cette classification.
- Distinguer pavage spatial, pavage plan et assemblage exigeant des rotations.
En clair
Imaginez une boîte cubique, puis posez à côté d'elle des copies strictement identiques. En les faisant seulement glisser, les cubes peuvent occuper tout l'espace : leurs faces se rejoignent, sans trou et sans que deux cubes empiètent l'un sur l'autre.
Un polyèdre de Fedorov possède cette capacité. Le cube est le cas le plus familier, mais la classification compte aussi quatre autres types, dont les copies remplissent l'espace par le même geste de translation.
Définition
Un polyèdre de Fedorov est un polyèdre convexe dont des copies obtenues uniquement par translation forment un pavage de l'espace tridimensionnel. Une translation déplace chaque point du même vecteur : elle ne tourne pas le solide et ne le déforme pas. Le pavage doit couvrir tout l'espace, sans vide entre les copies et sans chevauchement de leurs intérieurs.
La classification de Fedorov distingue cinq types combinatoires : le cube, le prisme hexagonal, l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique allongé et le dodécaèdre rhombique. Au sein d'un même type, les dimensions, les angles et les proportions peuvent varier sans changer l'organisation combinatoire des faces. Cette liste classe donc des types, et non cinq solides de dimensions fixées.
La notion a été étudiée par le cristallographe russe Evgraf Stepanovitch Fedorov (1853–1919). Elle relie ainsi la forme d'un solide à une question globale : la possibilité de répéter ce solide dans les trois directions de l'espace jusqu'à tout remplir.
De quoi c'est fait
Le premier élément est un polyèdre convexe, avec ses faces, ses arêtes, ses sommets et son intérieur. La convexité appartient à la définition : le solide ne présente aucun renfoncement. Le deuxième élément est la famille de copies identiques de ce solide.
Le troisième élément est l'ensemble des translations qui placent les copies. Leur choix dépend de la forme et des dimensions du polyèdre : pour un cube, les déplacements peuvent suivre trois directions perpendiculaires. Enfin, l'assemblage impose deux relations simultanées : les copies couvrent tout l'espace et leurs intérieurs restent disjoints.
La couleur, l'orientation du dessin et l'échelle choisie pour le représenter ne définissent pas l'objet. La forme convexe et l'existence d'un assemblage par translations suffisent, elles, à poser la question du pavage.
Un exemple, pas à pas
Prenons un cube d'arête 1. Les données sont ce cube, trois directions perpendiculaires suivant ses arêtes et des déplacements d'une longueur entière dans chacune de ces directions. On note ex, ey et ez les trois déplacements d'une unité.
1. Choisir trois entiers i, j et k. Le vecteur de translation t est alors :
2. Pour i = 1, j = 0 et k = 0, la copie se place exactement contre une face du cube initial. Les choix analogues dans les deux autres directions placent trois autres voisines.
3. Répéter l'opération pour tous les triplets d'entiers. Chaque cube occupe une cellule de côté 1 ; deux cellules voisines partagent une face, sans partager leur intérieur.
Le résultat est un remplissage de l'espace par translations du cube. Pour contrôler la construction, prenez n'importe quel point : ses trois coordonnées déterminent une cellule cubique d'arête 1 qui le contient, tandis que les intérieurs de deux cellules distinctes ne se recouvrent pas.
En pratique
Tester un assemblage. Face à un motif spatial de copies identiques, observez le mouvement qui passe d'une copie à l'autre. Si un simple glissement suffit partout et que l'espace est couvert sans chevauchement, le critère essentiel est satisfait. Si certaines copies doivent tourner, ce n'est pas un pavage par translation.
Choisir un modèle. Le cube est préférable lorsqu'on veut suivre directement trois directions perpendiculaires. Un autre des cinq types devient pertinent lorsque sa forme est celle que l'on souhaite répéter, mais il faut alors adapter les translations à ses faces et à ses dimensions.
Lire une classification. Les cinq noms désignent des types combinatoires. Pour comparer deux représentations, regardez donc l'organisation de leurs faces plutôt que leur taille, leur inclinaison sur la page ou leurs seules proportions apparentes.
À ne pas confondre
Pavage de l'espace et pavage par translation. Un assemblage peut remplir l'espace tout en exigeant que certaines copies soient tournées. Le test est simple : si les orientations changent, l'assemblage observé ne prouve pas que le solide est un polyèdre de Fedorov.
Pavage du plan et pavage de l'espace. Le premier couvre une surface à deux dimensions ; le second remplit un volume à trois dimensions. Une juxtaposition d'hexagones sur une feuille ne suffit donc pas à établir qu'un prisme hexagonal pave l'espace.
Type combinatoire et solide aux mesures fixées. Deux solides dont les dimensions, les angles ou les proportions diffèrent peuvent relever du même type si leurs faces ont la même organisation combinatoire. Ces différences de mesures ne suffisent donc pas, à elles seules, à produire un sixième type.
Limites et pièges
Une image finie ne prouve pas un pavage infini. Quelques copies bien ajustées peuvent laisser apparaître un vide plus loin. Il faut décrire une règle de translation qui s'étend à tout l'espace, puis contrôler couverture et absence de chevauchement.
Le contact des faces ne suffit pas. Des copies peuvent se toucher localement tout en se recouvrant ailleurs ou en enfermant une lacune. Les deux conditions globales, aucun vide et aucun chevauchement des intérieurs, doivent être vérifiées ensemble.
La convexité n'est pas facultative. Un solide creusé qui se répète par translation peut former un autre type de pavage, mais il sort de la définition donnée ici. Il faut alors parler plus généralement de solide pavant l'espace.
Le nombre cinq concerne la classification annoncée. Il compte des types combinatoires, non cinq tailles ni cinq jeux de mesures. Pour classer un exemple, il faut comparer l'organisation de ses faces à celle de l'un des cinq types plutôt que ses seules dimensions.
Pour aller plus loin
Polyèdre — Revoir les faces, arêtes et sommets qui composent le solide avant d'étudier son pavage.
Translation — Préciser le déplacement qui reproduit le solide sans le tourner ni le déformer.
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