cube - géométrie -

Prenez six carrés identiques et assemblez-les pour fermer une boîte sans couvercle manquant ni face superposée. Vous obtenez la forme d’un cube : chaque face est carrée et toutes les arêtes ont la même longueur. Trois arêtes se rencontrent à chaque coin, à angle droit.

Cette régularité explique pourquoi des cubes égaux, juxtaposés face contre face et alignés selon un réseau régulier, remplissent l’espace sans laisser de vide. Elle permet aussi de retrouver toute la géométrie du solide à partir d’une seule mesure : la longueur d’une arête.

Dans l’espace euclidien à trois dimensions, un cube est un polyèdre régulier dont les six faces sont des carrés égaux. De façon équivalente, c’est un prisme droit à base carrée dont toutes les faces sont carrées, ou un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes ont la même longueur. Le nom hexaèdre régulier souligne ses six faces. Le cube appartient aux cinq solides de Platon.

Si la lettre a désigne la longueur strictement positive d’une arête, l’aire totale S et le volume V sont entièrement déterminés :La diagonale d’une face, notée d_f, et la grande diagonale reliant deux sommets opposés, notée d, valent :

Le cube admet 11 patrons distincts et 48 isométries : 24 rotations conservent l’orientation, tandis que 24 isométries négatives la renversent, notamment par réflexion. Il est le seul polyèdre régulier qui pave l’espace sans vide ni recouvrement. Son polyèdre dual est l’octaèdre régulier ; les deux solides partagent le même groupe d’isométries.

Le cube possède 6 faces carrées, 12 arêtes de même longueur et 8 sommets. Chaque arête appartient à deux faces adjacentes, et trois arêtes se rencontrent à chaque sommet. Ces trois arêtes sont deux à deux perpendiculaires. Les faces adjacentes forment donc un angle dièdre droit, tandis que les faces opposées sont parallèles.

Chaque face porte deux diagonales. À l’intérieur du solide, quatre grandes diagonales relient les paires de sommets opposés. Elles passent toutes par un même point : le centre de symétrie, également isobarycentre des huit sommets. La couleur, l’orientation et l’échelle du dessin ne définissent pas le cube. Pour le construire à partir d’un sommet, on trace trois arêtes de même longueur, deux à deux perpendiculaires, puis on construit les faces carrées et ferme le solide ; la longueur commune suffit ensuite à calculer aire, volume et diagonales.

On considère un cube dont chaque arête mesure 3 cm. Les données sont donc une longueur d’arête a = 3 cm, six faces carrées égales et trois dimensions de même longueur. Calculons son aire totale, son volume et ses deux types de diagonales.

Étape 1. Une face est un carré de côté 3 cm. Son aire vaut 3 × 3 = 9 cm².

Étape 2. Les six faces donnent une aire totale de 6 × 9 = 54 cm². Un patron valide permet de compter ces six carrés avant le pliage.

Étape 3. Le volume vaut 3 × 3 × 3 = 27 cm³.

Étape 4. Le théorème de Pythagore donne pour une diagonale de face :

Étape 5. La grande diagonale combine cette diagonale de face et une troisième arête perpendiculaire :

Contrôle. Un assemblage de 3 × 3 × 3 petits cubes de 1 cm d’arête contient 27 cubes unités. Il confirme indépendamment le volume de 27 cm³.

Pour fabriquer un cube en papier, on trace six carrés égaux selon l’un de ses 11 patrons, puis on vérifie que le pliage ferme le solide sans chevauchement. Six carrés disposés au hasard ne conviennent pas forcément.

Pour mesurer une boîte cubique, on contrôle d’abord que longueur, largeur et hauteur sont égales. Une seule mesure d’arête suffit alors pour calculer le volume. Si la boîte est un parallélépipède rectangle et que ses trois mesures diffèrent, le produit longueur × largeur × hauteur remplace a³.

Pour remplir un espace par cellules régulières, des cubes égaux se juxtaposent face contre face sans interstice. Si le compartiment impose trois pas différents, des pavés droits ajustés peuvent être préférables. Des cubes d’une arête donnée ne le remplissent exactement que si chacune de ses dimensions est un multiple de cette arête ; sinon, ils laissent un reste ou dépassent.

Cube et carré. Le carré est une figure plane à quatre côtés ; le cube est un solide à six faces carrées. Une feuille ne possède pas de volume, tandis qu’une boîte cubique en possède un.

Cube et parallélépipède rectangle. Les deux ont des angles droits, mais le cube exige douze arêtes de même longueur. Une boîte de dimensions 3 cm, 3 cm et 5 cm est un parallélépipède rectangle, pas un cube.

Cube et hexaèdre. Hexaèdre signifie seulement « polyèdre à six faces ». Un cube est un hexaèdre régulier ; un polyèdre à six faces non carrées ou inégales n’est pas un cube.

Cube géométrique et fonction cube. Le premier est un solide de l’espace. La seconde associe à un nombre x son cube x³. Le contexte — figure à faces ou calcul sur un nombre — tranche immédiatement.

Une arête nulle ne donne pas un cube. Pour a = 0, les huit sommets se confondent et le volume vaut 0. Il faut imposer a > 0 pour obtenir un solide tridimensionnel.

La perspective déforme les longueurs dessinées. Sur une feuille, des arêtes parallèles peuvent sembler obliques ou plus courtes. Il faut vérifier les propriétés annoncées du solide, et non mesurer directement sa représentation.

Six carrés ne forment pas toujours un patron. Le cube possède exactement 11 patrons distincts, une fois écartées les dispositions obtenues par simple déplacement, rotation ou retournement. Il faut contrôler que les six faces se ferment sans se superposer.

L’unicité du pavage a un cadre précis. Le cube est le seul polyèdre régulier qui pave seul l’espace sans interstice ni recouvrement. Dire qu’il est le seul solide capable de le faire serait faux ; il faut conserver la restriction aux polyèdres réguliers.

polyèdre — Pour replacer faces, arêtes et sommets du cube dans la famille générale des solides polyédriques.

solide de Platon — Pour comparer le cube aux quatre autres polyèdres réguliers convexes.

octaèdre — Pour examiner le dual du cube et l’échange entre ses faces et ses sommets.

hexaèdre — Pour distinguer la famille des polyèdres à six faces du seul hexaèdre régulier.