rhomboèdre

Imaginez six losanges rigides assemblés bord à bord pour fermer une boîte oblique. Deux faces qui ne se touchent pas se font face et restent parallèles. Les six faces forment ainsi trois paires opposées. Cette boîte est un rhomboèdre.

Ses arêtes peuvent pencher : les angles des faces ne sont pas forcément droits. Lorsque chaque losange devient un carré et que tous les angles deviennent droits, le rhomboèdre est un cube.

Un rhomboèdre est un parallélépipède dont les six faces sont des losanges. Ces faces sont organisées en trois paires opposées : dans chaque paire, les deux faces sont parallèles et congruentes.

L'objet appartient à la famille des parallélépipèdes. Trois arêtes issues d'un même sommet donnent ses trois directions ; les autres arêtes leur sont parallèles. Le caractère oblique ne change pas la nature des faces : un losange n'a pas besoin d'avoir quatre angles droits.

Le cube satisfait ces conditions avec une contrainte supplémentaire : ses faces sont des carrés et ses angles sont droits. Le rhomboïde désigne usuellement un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont des longueurs différentes : ce n'est donc pas un autre nom mathématique du rhomboèdre. Le nom « rhomboèdre » vient du grec ancien rhombos, qui désignait le losange.

Dans un repère orthonormé, on part d'un sommet O. Les trois vecteurs d'arête sont nommés u, v et w. Leurs coordonnées, en unités de longueur, sont u = (5, 0, 0), v = (3, 4, 0) et $w=(3,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{55}}{2})w=(3,\backslash frac\{3\}\{2\},\backslash frac\{\backslash sqrt\{55\}\}\{2\})$.

1. Le calcul des trois longueurs donne :
$\parallel u\parallel =\parallel v\parallel =\parallel w\parallel =5\backslash lVert\; u\backslash rVert=\backslash lVert\; v\backslash rVert=\backslash lVert\; w\backslash rVert=5$.
Pour w, par exemple, le carré de la longueur vaut $3^2+(\frac{3}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{55}}{2}{)}^2=253^2+(\backslash frac\{3\}\{2\})^2+(\backslash frac\{\backslash sqrt\{55\}\}\{2\})^2=25$. Les arêtes issues de O ont donc toutes une longueur de 5 unités.

2. Les trois produits scalaires valent 15 :
$u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=15u\backslash cdot\; v=u\backslash cdot\; w=v\backslash cdot\; w=15$.
Le produit scalaire relie deux vecteurs à l'angle qu'ils forment : le cosinus de cet angle s'obtient en divisant leur produit scalaire par le produit de leurs longueurs. Ici, chaque paire engendre un losange de côté 5, et le cosinus de son angle aigu vaut donc 15/(5 × 5) = 15/25 = 3/5, soit un angle d'environ 53,1°.

3. Le sommet opposé à O est obtenu en additionnant les trois vecteurs : $u+v+w=(11,\frac{11}{2},\frac{\sqrt{55}}{2})u+v+w=(11,\backslash frac\{11\}\{2\},\backslash frac\{\backslash sqrt\{55\}\}\{2\})$. Les huit sommets sont O et les sept sommes non vides formées avec u, v et w.

4. Le volume est la valeur absolue du produit mixte. La matrice formée par les coordonnées de u, v et w est triangulaire supérieure : son déterminant est donc le produit des termes de sa diagonale, soit $5\times 4\times \frac{\sqrt{55}}{2}=10\sqrt{55}5\backslash times4\backslash times\backslash frac\{\backslash sqrt\{55\}\}\{2\}=10\backslash sqrt\{55\}$. Ainsi :
$\mid \det (u,v,w)\mid =10\sqrt{55}\approx \mathrm{74,2}\backslash left|\backslash det(u,v,w)\backslash right|=10\backslash sqrt\{55\}\backslash approx\; 74\{,\}2$.
Le rhomboèdre construit a donc un volume exact de 10√55 unités cubes, soit environ 74,2. Pour contrôler la construction, on vérifie que chaque face opposée est la translation de sa partenaire par le troisième vecteur.

Pour identifier un solide dessiné, on examine d'abord sa structure et ses six faces. Si le solide est un parallélépipède et si chacune de ses faces est un losange, le modèle du rhomboèdre convient ; sinon, il faut chercher un parallélépipède plus général.

Pour construire le solide en coordonnées, on choisit trois arêtes issues d'un sommet, puis on additionne leurs vecteurs pour obtenir les autres sommets. Si les trois directions sont perpendiculaires et les arêtes égales, le nom plus précis est cube.

Pour contrôler une maquette, on compare les longueurs des côtés et le parallélisme des faces opposées. Une simple apparence penchée ne suffit pas : la perspective peut faire paraître différentes des arêtes pourtant égales.

Losange. Un losange est une figure plane à quatre côtés, tandis qu'un rhomboèdre est un solide à six faces. Pour que la boîte fermée soit un rhomboèdre, elle doit avoir la structure d'un parallélépipède et ses six faces doivent être des losanges.

Parallélépipède quelconque. Ses faces sont des parallélogrammes, sans être nécessairement des losanges. Si une face a deux longueurs de côté différentes, le solide peut être un parallélépipède, mais pas un rhomboèdre.

Le cube n'est pas exclu. Des angles droits ne font pas sortir le solide de la famille. Lorsque l'angle entre chaque paire d'arêtes issues d'un sommet vaut 90°, les faces losanges sont des carrés : on obtient le cas particulier du cube.

Trois directions doivent former un vrai volume. Si les trois vecteurs d'arête sont dans un même plan, leur produit mixte est nul. La construction s'aplatit et ne délimite plus un polyèdre de volume non nul ; il faut choisir une troisième direction hors de ce plan.

Un dessin en perspective ne prouve aucune longueur. Deux arêtes égales dans l'espace peuvent sembler inégales sur la page. Il faut s'appuyer sur les mesures ou les coordonnées, puis vérifier les faces et les paires opposées.

Une seule paire de losanges ne suffit pas. Le critère porte sur les six faces. Si les autres faces ne sont pas elles aussi des losanges, il faut conserver le terme plus large de parallélépipède.

Losange — Revenir à la face plane permet d'en examiner les côtés et les angles avant de construire le solide.

polyèdre — Situer le rhomboèdre parmi les solides aide à relier faces, arêtes et sommets.

Des losanges plein l’espace — Cet article prolonge la réflexion sur les assemblages spatiaux fondés sur des losanges.