GéométrieNotion · Glossaire
zonoèdre
Un zonoèdre est un polyèdre convexe dont chaque face possède un centre de symétrie — de telles faces sont appelées zonogones. On dit qu'un zonoèdre est équilatéral lorsque toutes ses arêtes ont la même longueur. Les polyèdres convexes dont l'intégralité des faces sont des losanges constituent un cas particulier de cette famille : on les désigne sous le nom de polyèdres rhombiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Tester la symétrie centrale de chaque face par un demi-tour.
- Vérifier sur un cube pourquoi toutes les faces sont des zonogones.
- Distinguer zonoèdre, zonoèdre équilatéral et polyèdre rhombique.
- Écarter les faux candidats à face impaire ou seulement globalement symétriques.
En clair
Prenez un cube et regardez l'une de ses faces carrées. Un demi-tour autour du centre de ce carré remet exactement la face sur elle-même : chaque sommet rejoint le sommet opposé, et chaque côté rejoint le côté opposé.
Le même test réussit sur chacune des six faces. Le cube est donc un zonoèdre. Cette idée vaut pour tout polyèdre convexe dont chaque face, pas seulement l'ensemble du solide, résiste à ce test du demi-tour.
Définition
Un zonoèdre est un polyèdre convexe dont chacune des faces est un zonogone, c'est-à-dire un polygone qui possède un centre de symétrie. Pour une face donnée, il existe donc un point tel qu'une rotation d'un demi-tour autour de ce point superpose la face à elle-même. Les sommets et les côtés de la face se correspondent alors par paires opposées.
La condition porte séparément sur toutes les faces. Elle ne dit pas seulement que le polyèdre entier présente une symétrie. Elle impose notamment que chaque face ait un nombre pair de côtés, mais cette parité ne suffit pas à garantir un centre de symétrie.
Un zonoèdre est dit équilatéral lorsque toutes ses arêtes ont la même longueur. Un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des losanges est un polyèdre rhombique ; c'est un cas particulier de zonoèdre, car chaque losange possède un centre de symétrie. Le cube conducteur, dont les faces carrées sont aussi des losanges, appartient à ce cas particulier.
Un exemple, pas à pas
Considérons un cube dont chaque arête mesure 3 cm. Ses six faces sont des carrés de côté 3 cm. Le patron permet de vérifier la même propriété sur chaque face sans se fier à la perspective.
1. Sur une face, nommons A, B, A′ et B′ les quatre sommets dans l'ordre. Le point C où les deux diagonales se coupent est le centre du carré.
2. Le demi-tour de centre C échange A avec A′ et B avec B′. Il échange aussi chaque côté de 3 cm avec le côté opposé : la face possède bien un centre de symétrie.
3. Les six faces étant des carrés identiques, le même contrôle s'applique six fois. Toutes les faces sont donc des zonogones et le cube, qui est convexe, est un zonoèdre.
4. Les douze arêtes mesurent toutes 3 cm : ce zonoèdre est équilatéral. Comme ses six faces sont des losanges particuliers, c'est aussi un polyèdre rhombique.
Le contrôle est refaisable face par face : six faces convexes, six centres C et, sur chacune, deux paires de sommets opposés échangées par un demi-tour.
En pratique
Pour classer une maquette de polyèdre, examinez chaque type de face. Cherchez un point autour duquel un demi-tour échange sommets et côtés opposés. Si une seule face échoue, la maquette n'est pas un zonoèdre.
Pour écarter rapidement un candidat, comptez les côtés des faces. La présence d'un triangle ou de tout autre polygone ayant un nombre impair de côtés suffit à exclure un zonoèdre ; si tous les nombres sont pairs, il faut encore effectuer le test de symétrie.
Pour préciser la classification, comparez ensuite les longueurs d'arêtes. Des longueurs toutes égales donnent un zonoèdre équilatéral. Des faces toutes en forme de losange donnent plus précisément un polyèdre rhombique.
À ne pas confondre
Zonoèdre et polyèdre à symétrie centrale. Pour reconnaître un zonoèdre, la symétrie doit être vérifiée sur chaque face. Une symétrie observée sur le solide pris dans son ensemble ne remplace pas ce contrôle face par face.
Zonoèdre et polyèdre rhombique. « Polyèdre rhombique » n'est pas un synonyme de « zonoèdre ». Le premier exige que toutes les faces soient des losanges ; le second autorise plus largement toute face polygonale ayant un centre de symétrie, comme un rectangle non carré.
Équilatéral et faces régulières. L'adjectif équilatéral compare les arêtes du polyèdre. Il ne suffit pas, à lui seul, à établir que toutes les faces ont la même forme ni qu'elles sont des polygones réguliers.
Limites et pièges
Une face impaire suffit à conclure. Une symétrie centrale associe les sommets par paires. Une face triangulaire, pentagonale ou comptant tout autre nombre impair de sommets ne peut donc pas être un zonogone ; le polyèdre n'est pas un zonoèdre.
Un nombre pair ne suffit pas. Un quadrilatère quelconque peut avoir quatre côtés sans posséder de centre de symétrie. Après le comptage, il faut encore vérifier qu'un demi-tour superpose réellement chaque sommet et chaque côté à son opposé.
La convexité fait partie de la définition. Contrôler des faces individuellement symétriques ne permet pas d'ignorer la forme globale. Si le polyèdre n'est pas convexe, il ne répond pas à la définition retenue ici, même si certaines de ses faces sont des zonogones.
Pour aller plus loin
Pour prolonger l'étude sans changer de définition, on peut inventorier les paires de côtés opposés de chaque face, puis observer comment ces directions se poursuivent d'une face à l'autre. Cette lecture met l'accent sur l'organisation globale des zonogones plutôt que sur leur seule apparence.
On peut aussi comparer plusieurs familles : les zonoèdres équilatéraux imposent une longueur commune à toutes les arêtes, tandis que les polyèdres rhombiques imposent en plus des faces toutes losangiques. Le cube satisfait simultanément ces deux contraintes.
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