dodécaèdre rhombique

Imaginez douze losanges identiques assemblés en une coque fermée. Ils forment un solide à quatorze coins : trois faces se rencontrent à huit coins, et quatre faces aux six autres. Cette alternance donne au dodécaèdre rhombique sa silhouette particulière.

Des copies du solide peuvent aussi remplir tout l'espace par simples translations, sans trou. On retrouve une partie de cette géométrie au fond des alvéoles d'abeilles : le prisme hexagonal s'y termine par trois faces.

Le dodécaèdre rhombique est un polyèdre convexe borné par 12 losanges congruents, c'est-à-dire superposables. On le nomme aussi dodécaèdre rhomboïdal, rhombododécaèdre ou granatoèdre. Chacun de ses losanges a deux diagonales dont le rapport entre la plus longue et la plus courte vaut √2.

Sa structure compte 14 sommets et 24 arêtes. Huit sommets sont de degré 3, donc trois arêtes y aboutissent ; les six autres sont de degré 4. Ce polyèdre de Catalan est le dual du cuboctaèdre : les faces de l'un correspondent aux sommets de l'autre, et réciproquement.

C'est aussi un paralléloèdre, parmi les cinq formes convexes de cette famille. Des copies obtenues uniquement par translation peuvent donc paver l'espace sans vide. Dans une ruche, l'alvéole n'est pas ce polyèdre entier : c'est un prisme hexagonal terminé par trois faces associées à l'un de ses sommets de degré 3. À leur jonction, trois interfaces en équilibre se rencontrent localement à 120°.

Contrôlons que les nombres annoncés pour un dodécaèdre rhombique sont cohérents, sans avoir à reconstruire le solide.

Données :
12 faces, chacune bordée par 4 arêtes ;
8 sommets de degré 3 ;
6 sommets de degré 4 ;
14 sommets annoncés.

1. Compter 12 × 4 = 48 côtés de faces.
2. Chaque arête appartient à deux faces, donc $E=\frac{12\times 4}{2}=24E=\backslash frac\{12\backslash times4\}\{2\}=24$.
3. Additionner les degrés : 8 × 3 + 6 × 4 = 48. Comme chaque arête a deux extrémités, on retrouve 48 ÷ 2 = 24 arêtes.
4. Avec le nombre de sommets V = 14, le nombre d'arêtes E = 24 et le nombre de faces F = 12, vérifier $V-E+F=14-24+12=2V-E+F=14-24+12=2$.

Les deux doubles comptages donnent bien 24 arêtes, puis la relation d'Euler vaut 2, comme attendu pour cette surface polyédrique convexe. Le contrôle se refait en recomptant chaque arête une fois depuis les faces, puis une fois depuis ses deux extrémités.

Pour reconnaître le solide, on compte d'abord 12 faces en forme de losange, puis on observe les sommets. La coexistence de huit jonctions à trois arêtes et de six jonctions à quatre arêtes écarte un simple assemblage de douze losanges différemment organisé.

Pour matérialiser un pavage de l'espace, on choisit ce paralléloèdre lorsque toutes les copies doivent garder la même orientation et ne subir que des translations. Si des rotations sont nécessaires pour combler les vides, ce n'est pas la propriété annoncée ici.

Pour lire la géométrie d'une alvéole, on isole son fond plutôt que l'ensemble de la cellule. Le bon motif est la rencontre de trois faces, associée à un sommet de degré 3 ; l'alvéole complète reste un prisme hexagonal terminé par ces faces.

Le cuboctaèdre n'est pas un autre nom du dodécaèdre rhombique. Ils sont duaux : le dodécaèdre rhombique a 12 faces et 14 sommets, tandis que l'échange faces-sommets explique la relation entre les deux objets.

Un dodécaèdre est, au sens large, un polyèdre à douze faces. Le qualificatif « rhombique » impose ici des faces qui sont des losanges congruents ; compter seulement douze faces ne suffit donc pas.

En revanche, dodécaèdre rhomboïdal, rhombododécaèdre et granatoèdre sont bien des synonymes donnés pour le même solide. Les employer ne signale pas une variante géométrique.

Des faces congruentes ne rendent pas tous les sommets équivalents. Le symptôme du mauvais comptage est d'attribuer le même degré aux 14 sommets ; il faut séparer les 8 sommets de degré 3 des 6 sommets de degré 4.

Le rapport √2 concerne la plus longue diagonale d'une face divisée par la plus courte. Inverser l'ordre donne 1/√2 ; il faut donc annoncer l'ordre des deux longueurs avant de citer le rapport.

Le pavage revendiqué est obtenu par translation. Une représentation où les copies sont tournées peut montrer un remplissage, mais elle ne vérifie pas cette propriété précise ; on doit comparer l'orientation de toutes les copies.

Une alvéole d'abeille n'est pas un dodécaèdre rhombique complet. Si l'on compte un prisme hexagonal prolongé par un fond à trois faces, il faut décrire seulement cette terminaison comme correspondant à un sommet de degré 3.

La fiche polyèdre replace faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général des solides.

La fiche Losange approfondit la forme de chacune des douze faces et le rôle de ses diagonales.