dodécaèdre rhombique étoilé

Imaginez un solide formé de 12 losanges. Sur chaque losange, on place une pyramide qui pointe vers l’extérieur, avec un sommet et des dimensions déterminés par les intersections des plans prolongés des faces : c’est le modèle de la première stellation du dodécaèdre rhombique. Les quatre côtés triangulaires de chaque pyramide donnent 12 × 4 = 48 triangles visibles. Ces triangles se regroupent toutefois en 12 faces étoilées selon la manière géométrique de compter les faces.

Un dodécaèdre rhombique étoilé est obtenu en prolongeant les plans des faces d’un dodécaèdre rhombique jusqu’à leurs nouvelles intersections. Cette opération, appelée stellation, fournit ici trois solides étoilés distincts. Le premier, parfois nommé polyèdre d’Escher, peut aussi être décrit comme trois octaèdres imbriqués ou comme 12 pyramides fixées aux 12 losanges du solide initial, dont les sommets et les dimensions sont imposés par ces intersections de plans.

Avec la convention de comptage donnée par la source, la première stellation possède 12 faces, 12 sommets et 36 arêtes ; ses surfaces font apparaître 48 régions triangulaires visibles. La deuxième possède 12 faces, 48 sommets et 48 arêtes. La troisième possède 12 faces, 24 sommets et 36 arêtes. Dans un polyèdre étoilé, une face prolongée peut se croiser elle-même ou être découpée visuellement : le nombre de faces ne se lit donc pas en comptant simplement tous les triangles apparents.

La première stellation admet en outre un découpage en 12 pièces appropriées qui peuvent être réassemblées en cube. Cette équidécomposabilité porte sur les pièces et leur volume total ; elle ne signifie pas que le solide étoilé et le cube ont les mêmes faces, arêtes ou sommets.

On construit la première stellation à partir d’un dodécaèdre rhombique. Les données sont 12 faces losangiques, une pyramide collée sur chaque face, dont le sommet et les dimensions sont déterminés par les intersections des plans prolongés, et 4 faces triangulaires latérales par pyramide. La base losangique de chaque pyramide est collée au solide et n’est plus visible.

1. Sur une face losangique, la pyramide ajoutée laisse voir ses 4 triangles latéraux.

2. On répète la même opération sur les 12 faces : 12 pyramides sont nécessaires.

3. Le nombre de triangles visibles est 12 × 4 = 48.

Le contrôle se refait en sens inverse : 48 triangles répartis par groupes de 4 redonnent 48 ÷ 4 = 12 pyramides, donc une pyramide par face initiale. Ce résultat compte des régions triangulaires visibles, et non 48 faces au sens de la stellation.

Pour fabriquer un modèle en papier, on part du patron du dodécaèdre rhombique et l’on ajoute sur chacun des 12 losanges une pyramide dont les dimensions respectent les intersections des plans prolongés de la stellation. Un modèle démontable est préférable si l’on veut ensuite observer les 12 pièces du découpage vers le cube.

Pour reconnaître la première stellation, on cherche simultanément les pointes placées aux intersections des plans prolongés des faces et les 48 triangles visibles. La lecture en trois octaèdres imbriqués est préférable lorsqu’on étudie les symétries internes plutôt que la construction par ajout de pyramides.

Pour vérifier un inventaire de faces, d’arêtes et de sommets, il faut annoncer la convention de comptage. Un dessin triangulé aide à compter les régions visibles ; une représentation des faces prolongées convient mieux pour identifier les 12 faces étoilées.

Le dodécaèdre rhombique est le solide de départ, à 12 faces losangiques. Sa stellation prolonge ces faces ou leur ajoute des pointes : un modèle sans pointes relève du dodécaèdre rhombique, pas de sa forme étoilée.

Un octaèdre isolé possède 8 faces triangulaires. La première stellation peut se lire comme trois octaèdres imbriqués, mais l’ensemble obtenu n’est pas un seul octaèdre : la présence des trois orientations et des 48 triangles visibles tranche.

Le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre étoilé sont d’autres polyèdres étoilés. Le critère décisif est le solide de départ : la fiche traite des stellations du dodécaèdre rhombique, dont les faces initiales sont des losanges.

Le premier piège consiste à confondre faces et régions visibles. Dans la première stellation, les 48 triangles apparents sont regroupés en 12 faces étoilées selon la convention de la source. Il faut donc préciser ce que l’on compte avant de comparer deux inventaires.

La relation d’Euler des polyèdres convexes ne doit pas être appliquée mécaniquement à ces décomptes. Par exemple, 12 sommets − 36 arêtes + 12 faces donne −12, et non 2 : les intersections et la convention des faces étoilées sortent du cadre convexe ordinaire.

Le réassemblage en cube ne conserve pas l’enveloppe du solide. Les 12 pièces sont déplacées pour former un autre bord extérieur ; il faut comparer le découpage et le volume total, pas chercher une correspondance entre les faces du cube et les 12 faces étoilées.

Enfin, les trois stellations ne se distinguent pas par leur seul nombre de faces, qui vaut 12 dans les trois cas. Les couples sommets-arêtes donnés par la source sont respectivement 12-36, 48-48 et 24-36 ; ils évitent de prendre une variante pour une autre.

Le dodécaèdre rhombique permet d’étudier le solide initial et ses 12 faces losangiques avant leur prolongement.

La stellation précise l’opération géométrique qui prolonge les faces et explique pourquoi plusieurs solides étoilés peuvent partir d’un même polyèdre.

L’octaèdre fournit les repères nécessaires pour lire la première stellation comme une imbrication de trois exemplaires.