stellation

Imaginez un polyèdre convexe dont chaque face se prolonge en un plan infini. Ces plans découpent l'espace en régions appelées cellules. Le polyèdre de départ reste au centre : c'est le noyau. Autour de lui apparaissent des cellules fermées et d'autres qui s'étendent sans fin.

La stellation garde certaines cellules bornées et les assemble selon des règles précises. Le nouveau volume peut alors prendre une allure étoilée, tout en restant lié aux plans des faces d'origine. Un schéma de cellules permet de suivre ce choix sans supposer une forme particulière.

La stellation est une construction appliquée à un polyèdre convexe donné. On prolonge les plans qui contiennent ses faces. Leur arrangement partage alors l'espace en cellules bornées, entièrement enfermées, et en cellules non bornées, qui s'étendent indéfiniment. Le polyèdre initial est la cellule centrale de cet arrangement, appelée noyau.

La seule valeur d'un angle dièdre entre deux faces, c'est-à-dire l'angle formé le long de leur arête commune, ne suffit pas à déterminer si plusieurs couches de cellules bornées entourent le noyau. Leur existence et leur nombre dépendent de l'arrangement complet des plans et de la combinatoire du polyèdre. Une stellation est obtenue en sélectionnant et en assemblant de telles cellules selon les règles de Miller. Les cellules non bornées ne participent pas à cette construction.

Deux polyèdres reliés par stellation ont leurs faces dans un même ensemble de plans. Cette coplanarité est le repère essentiel pour reconnaître la relation, tandis que les règles de Miller encadrent les assemblages admis. La notation de Du Val sert à nommer systématiquement les constructions obtenues. La relation avec le facettage est précisée dans la partie consacrée aux confusions.

On part d'un octaèdre régulier, noté P. Ses huit faces triangulaires déterminent huit plans. Leur prolongement fait apparaître, contre chacune des huit faces du noyau, une cellule tétraédrique bornée : ces huit cellules forment l'unique couche extérieure à considérer.

1. Prolonger chaque face de P dans son plan.
2. Repérer la cellule centrale : elle coïncide avec P.
3. Écarter toutes les cellules qui s'étendent sans limite et isoler les huit cellules tétraédriques qui partagent chacune une face entière avec le noyau.
4. Conserver ces huit cellules, une par face de P : la règle de décision consiste ici à retenir toute cette couche, sans omission ni cellule supplémentaire.
5. Assembler les huit cellules autour du noyau. On obtient la stella octangula, l'unique stellation de l'octaèdre régulier.

Le contrôle est directement refaisable : chaque face du résultat doit appartenir à l'un des plans de faces de P, et aucune cellule non bornée ne doit avoir été retenue. Si l'un de ces deux tests échoue, l'assemblage décrit n'est pas la stellation attendue.

Pour construire une stellation, on travaille sur l'arrangement des plans des faces. Le geste utile consiste à isoler le noyau, puis à distinguer les cellules bornées des régions qui s'étendent sans fin.

Pour vérifier un polyèdre candidat, on compare les plans de ses faces à ceux du polyèdre de départ. Des pointes visibles ne suffisent pas : le critère observable est la coplanarité des faces correspondantes.

Pour distinguer plusieurs assemblages valides issus du même noyau, on emploie la notation de Du Val. Si le problème porte sur l'opération duale plutôt que sur la prolongation des plans de faces, l'alternative pertinente est le facettage.

Polyèdre étoilé quelconque. Une silhouette à pointes ne suffit pas à caractériser une stellation. Le test décisif porte sur les plans : les faces du candidat doivent rester dans le même ensemble de plans que celles du polyèdre de départ. Ajouter arbitrairement des pointes ne garantit pas ce critère.

Facettage. Le facettage n'est pas un autre nom de la stellation. Plus précisément, une stellation d'un polyèdre correspond à un facettage de son polyèdre dual, et réciproquement. La stellation conserve les plans de faces du polyèdre de départ ; le facettage conserve ses sommets et en modifie l'organisation en faces. Le critère à contrôler est donc différent.

Le seuil de 90°. L'accumulation en plusieurs couches décrite ici concerne un angle dièdre strictement supérieur à 90°. À 90° ou en dessous, il ne faut pas supposer que ces couches existent : l'arrangement des plans doit être examiné directement.

Coplanarité ne signifie pas choix arbitraire. Retrouver le même ensemble de plans est un contrôle nécessaire, mais la sélection et l'assemblage des cellules restent soumis aux règles de Miller. Il faut donc contrôler l'assemblage, pas seulement son apparence.

Cellules non bornées. Elles apparaissent bien dans le découpage de l'espace, mais ne servent pas à former les polyèdres cherchés. Le symptôme est une région sans fermeture finie ; il faut l'écarter et ne sélectionner que des cellules bornées.

Le glossaire polyèdre précise l'objet géométrique qui sert de noyau et dont les plans de faces lancent la construction.

La fiche facettage prolonge l'étude par le processus dual de la stellation et aide à ne pas confondre les deux opérations.