GéométrieNotion · Glossaire
stella octangula
La stella octangula est un polyèdre étoilé à huit pointes formé par la superposition de deux tétraèdres réguliers, images l'un de l'autre par symétrie centrale autour de leur centre commun. Leur intersection est un octaèdre régulier ; de façon équivalente, on obtient le solide en ajoutant une pyramide tétraédrique sur chacune des huit faces de cet octaèdre. Cette double construction permet d'en comprendre immédiatement la structure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la stella octangula comme l'emboîtement de deux tétraèdres réguliers symétriques.
- Retrouver l'octaèdre régulier commun et la construction équivalente par huit pyramides.
- Distinguer le solide de son noyau octaédrique et d'une étoile de David plane.
En clair
Imaginez deux tétraèdres réguliers de même taille, emboîtés autour du même centre et tournés en sens opposés. Leurs huit sommets occupent les coins d'un cube. À l'extérieur, chacun des huit coins forme une pointe : l'ensemble est la stella octangula.
On peut aussi partir de la zone commune aux deux tétraèdres, qui est un octaèdre régulier. Une pyramide tétraédrique ajoutée sur chacune de ses huit faces reconstitue les huit pointes.
Définition
La stella octangula est un polyèdre étoilé à huit pointes. Elle porte aussi les noms d'octangle étoilé, d'octaèdre étoilé et d'étoile de David en trois dimensions. Sa structure repose sur deux tétraèdres réguliers de même centre, images l'un de l'autre par la symétrie centrale de ce centre. Leurs huit sommets, pris ensemble, coïncident avec les huit sommets d'un cube.
Les deux tétraèdres se traversent : leur intersection, c'est-à-dire le volume commun aux deux solides, est un octaèdre régulier. Cette propriété donne une seconde construction équivalente. On part de l'octaèdre central et l'on prolonge chacune de ses huit faces par une pyramide tétraédrique ; les huit sommets extérieurs de ces pyramides sont les pointes de la stella octangula.
Luca Pacioli a décrit ce solide en 1509 dans La divine proportion. Johannes Kepler l'a redécouvert et lui a donné le nom de stella octangula un siècle plus tard. La gravure Stars de Maurits Cornelis Escher, datée de 1948, en offre un usage artistique. En algèbre, la même configuration aide à explorer les 48 automorphismes du cube.
Un exemple, pas à pas
Construisons la stella octangula à partir de ses deux tétraèdres. Les données sont deux tétraèdres réguliers de même taille, un centre commun, une symétrie centrale et les huit sommets d'un cube comme positions disponibles.
1. Placez le premier tétraèdre sur quatre sommets alternés du cube.
2. Appliquez la symétrie de centre commun : les quatre sommets obtenus forment le second tétraèdre.
3. Superposez les deux solides. Le volume qu'ils partagent est un octaèdre régulier.
4. Lisez la même construction depuis ce noyau : chacune de ses huit faces porte une pyramide tétraédrique dont le sommet est une pointe extérieure.
2. Appliquez la symétrie de centre commun : les quatre sommets obtenus forment le second tétraèdre.
3. Superposez les deux solides. Le volume qu'ils partagent est un octaèdre régulier.
4. Lisez la même construction depuis ce noyau : chacune de ses huit faces porte une pyramide tétraédrique dont le sommet est une pointe extérieure.
Le résultat possède donc huit pointes et mobilise les huit sommets du cube. Le contrôle se refait sans mesure : les quatre sommets d'un tétraèdre et leurs quatre images centrales épuisent les huit sommets du cube ; les huit faces du noyau donnent également huit pyramides. La figure rend visibles ces deux lectures d'une même structure.
En pratique
Pour fabriquer une maquette en tiges, la lecture par deux tétraèdres est directe : on construit deux armatures identiques, puis on les centre l'une dans l'autre. Si l'objectif est de faire ressortir le volume commun, on préfère construire l'octaèdre central avant d'ajouter ses huit pyramides.
Devant la gravure Stars d'Escher, datée de 1948, on peut rechercher les deux réseaux tétraédriques plutôt qu'une simple silhouette étoilée. Le critère est la profondeur : les arêtes appartiennent à une construction en trois dimensions.
Pour aborder les symétries du cube, on repère comment une transformation permute ses huit sommets tout en préservant la configuration. Cette lecture est adaptée lorsqu'on étudie le groupe des 48 automorphismes du cube ; la construction par pyramides reste préférable pour visualiser la stellation.
À ne pas confondre
Avec un octaèdre régulier. L'octaèdre est seulement le volume commun aux deux tétraèdres. Un modèle qui s'arrête à ce noyau n'a pas les huit pointes extérieures de la stella octangula.
Avec l'étoile de David plane. Le nom « étoile de David en trois dimensions » souligne une analogie, mais la stella octangula est un solide. La présence de deux tétraèdres emboîtés, plutôt que de deux triangles tracés dans un plan, tranche immédiatement.
Limites et pièges
Deux descriptions, un seul solide. « Deux tétraèdres superposés » et « octaèdre portant huit pyramides » ne désignent pas deux variantes. Si une construction ne donne pas le même noyau octaédrique et les mêmes huit pointes, il faut reprendre le placement des éléments.
La réunion n'est pas l'intersection. Le contour étoilé provient de l'ensemble formé par les deux tétraèdres, tandis que leur seule partie commune est l'octaèdre central. Confondre ces deux opérations fait disparaître les pointes ; il faut isoler mentalement le volume partagé.
La régularité compte. Les deux composants sont des tétraèdres réguliers, de même centre et symétriques l'un de l'autre. Deux tétraèdres quelconques simplement croisés peuvent former une silhouette étoilée, mais les sommets ne vérifient alors pas nécessairement la description par les huit sommets d'un cube.
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