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polyèdre régulier
Un polyèdre régulier est un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tel que le même nombre d'arêtes (le degré du sommet) aboutit en chacun de ses sommets. On dénombre exactement 9 polyèdres réguliers. Les 5 premiers sont convexes et constituent les solides de Platon : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Les 4 autres sont non convexes et forment les solides de Kepler-Poinsot : le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre étoilé, découverts par Kepler, ainsi que le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre, découverts par Poinsot.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les deux conditions simultanées de régularité.
- Vérifier ces conditions sur le cube par des comptages cohérents.
- Distinguer les cinq solides de Platon des quatre solides de Kepler-Poinsot.
- Éviter de confondre régularité des faces, régularité du polyèdre et convexité.
En clair
Prenez un cube et faites-le tourner. Chacune de ses six faces est le même carré, et trois arêtes se rencontrent à chaque sommet. Aucun sommet n’a un assemblage différent des autres.
Cette double uniformité caractérise un polyèdre régulier : mêmes faces régulières et même nombre d’arêtes autour de chaque sommet. Le cube appartient aux cinq solides de Platon, qui sont convexes. Quatre autres polyèdres réguliers, les solides de Kepler-Poinsot, ne sont pas convexes.
Définition
Un polyèdre régulier est un polyèdre soumis à deux conditions simultanées. Premièrement, toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques : elles ont donc la même forme et la même taille. Deuxièmement, le même nombre d’arêtes aboutit à chaque sommet. Ce nombre commun est le degré du sommet.
Dans la convention de classification étendue, qui admet les polygones étoilés réguliers comme faces et les surfaces auto-intersectantes, il existe exactement neuf polyèdres réguliers. Les cinq convexes sont les solides de Platon : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Les quatre non convexes forment les solides de Kepler-Poinsot. La convexité sépare donc deux familles, mais elle ne fait pas partie des deux conditions de régularité.
L’adjectif « régulier » porte ainsi sur l’ensemble de la structure. Des faces régulières toutes identiques ne suffisent pas si les sommets ne présentent pas tous le même degré. Réciproquement, un degré constant ne suffit pas si les faces ne sont pas toutes le même polygone régulier.
De quoi c'est fait
La structure comporte quatre éléments à examiner. Les faces sont les polygones qui bordent le solide. Les arêtes sont leurs côtés communs. Les sommets sont les points où aboutissent les arêtes. Enfin, le degré d’un sommet compte les arêtes qui y arrivent.
Les faces déterminent le réseau d’arêtes, et les arêtes déterminent à leur tour l’assemblage autour des sommets. La régularité impose une même face partout et un degré identique à tous les sommets. Ces données décrivent la structure combinatoire à vérifier ; la couleur, l’orientation dans l’espace et l’échelle du dessin ne changent pas ce verdict.
Un exemple, pas à pas
On veut vérifier qu’un cube est régulier. Les données observables sont les suivantes : six faces, toutes carrées et de même taille ; douze arêtes de même longueur ; huit sommets.
1. Examiner une face. Un carré a quatre côtés égaux et quatre angles égaux : c’est un polygone régulier.
2. Comparer les faces. Les six faces sont des carrés identiques. La première condition est satisfaite.
3. Compter autour des sommets. Trois arêtes aboutissent à chacun des huit sommets. Le degré commun vaut donc 3.
4. Conclure. Les deux conditions sont réunies : le cube est un polyèdre régulier.
Un contrôle indépendant consiste à compter les extrémités d’arêtes. Les douze arêtes fournissent 12 × 2 = 24 extrémités, tandis que les huit sommets en reçoivent chacun trois, soit 8 × 3 = 24. Les deux comptages concordent.
En pratique
Pour classer une maquette, commencez par comparer toutes les faces. Si elles ne sont pas des polygones réguliers identiques, la maquette est un polyèdre non régulier et le contrôle peut s’arrêter.
Si les faces passent ce premier test, comptez les arêtes à chaque sommet. Un seul sommet de degré différent suffit à préférer l’appellation générale de polyèdre à celle de polyèdre régulier.
Ne rejetez pas automatiquement une forme creusée ou étoilée. La convexité permet de distinguer les solides de Platon des solides de Kepler-Poinsot ; elle ne décide pas, à elle seule, de la régularité.
À ne pas confondre
Un polygone régulier est une figure plane dont les côtés et les angles sont égaux. Un polyèdre régulier est un objet de l’espace formé de telles faces identiques. Un carré isolé relève donc du premier cas, tandis qu’un cube relève du second.
Un polyèdre n’est pas nécessairement régulier. Le critère décisif est double : faces régulières identiques et degré constant aux sommets. Si l’une de ces conditions échoue, le mot « polyèdre » reste valable, mais pas « polyèdre régulier ».
Un polyèdre convexe n’est pas automatiquement régulier. La convexité décrit la forme globale, tandis que la régularité compare les faces et les sommets. Les cinq solides de Platon possèdent les deux propriétés, mais les quatre solides de Kepler-Poinsot sont réguliers sans être convexes.
Limites et pièges
Faces identiques, sommets différents. Voir partout le même polygone régulier ne suffit pas. Il faut compter les arêtes à chaque sommet ; dès que deux degrés diffèrent, la structure n’est pas régulière.
Degré constant, faces inadéquates. Un même nombre d’arêtes à tous les sommets ne suffit pas non plus. Il faut revenir aux faces et vérifier qu’elles sont toutes des polygones réguliers identiques.
Rejet des formes non convexes. Une silhouette étoilée ou creusée peut sembler irrégulière. Le bon réflexe est d’appliquer les deux critères structurels : les quatre solides de Kepler-Poinsot montrent que non-convexe ne signifie pas non régulier.
Comptage sur un dessin. Des arêtes peuvent se superposer dans une vue en perspective. Pour le cube, le contrôle 12 × 2 = 8 × 3 évite d’oublier une arête ou de compter deux fois une extrémité.
Pour aller plus loin
polyèdre — Revenir à la famille générale permet de situer précisément les deux conditions supplémentaires qui définissent la régularité.
Fabriquer le cube en tranches — Un prolongement consacré au cube, l’exemple régulier utilisé pour vérifier faces, arêtes et sommets.
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