GéométrieNotion · Glossaire
antiprisme de Kepler
Un antiprisme est un polyèdre formé de deux polygones parallèles congruents, tournés l'un par rapport à l'autre, dont les sommets sont reliés par une ceinture de triangles alternés. L'octaèdre régulier est l'antiprisme à bases triangulaires. Kepler a décrit et nommé cette famille dans son étude des polyèdres. L'expression « antiprisme de Kepler » ne doit pas être confondue avec les solides étoilés de Kepler-Poinsot, qui forment une famille particulière de polyèdres réguliers non convexes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les deux bases et la ceinture de triangles.
- Comprendre pourquoi l'octaèdre est le cas à bases triangulaires.
- Séparer l'antiprisme des Kepler-Poinsot et d'un prisme.
En clair
Imaginez deux triangles identiques, posés l'un au-dessus de l'autre et légèrement tournés. Reliez chaque sommet à ceux de l'autre triangle en alternant les raccordements : une ceinture de triangles apparaît autour de l'ensemble. Le solide obtenu est un antiprisme. Avec des bases triangulaires et une construction régulière, on obtient un octaèdre régulier. Le nom historique « antiprisme de Kepler » désigne cette famille d'antiprismes, et non les polyèdres étoilés de Kepler-Poinsot.
Définition
Un antiprisme possède deux bases polygonales parallèles et congruentes, c'est-à-dire de même forme et de mêmes dimensions. Une base est tournée par rapport à l'autre autour de la direction perpendiculaire aux plans des bases. Les sommets des deux polygones sont alors reliés de manière alternée, ce qui forme une ceinture de faces triangulaires.
Si chaque base a n côtés, l'antiprisme comporte 2n sommets, 4n arêtes et 2n + 2 faces : les deux bases et 2n triangles latéraux. Dans l'antiprisme régulier, les bases sont des polygones réguliers, la rotation est choisie symétriquement et les faces latérales sont des triangles équilatéraux. Pour n = 3, les bases triangulaires donnent l'octaèdre régulier. Kepler est associé à la description et à la dénomination historiques de cette famille.
Cette notion concerne donc une famille de polyèdres construite à partir de deux bases et d'une ceinture triangulaire. Elle ne désigne pas les solides de Kepler-Poinsot, qui forment une autre famille de polyèdres réguliers étoilés et non convexes.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'antiprisme régulier à bases triangulaires, c'est-à-dire l'octaèdre régulier. Les données utiles sont les suivantes : chaque base a 3 côtés ; il y a 2 bases ; la ceinture comporte 6 triangles.
On compte d'abord les sommets : 3 + 3 = 6.
On compte ensuite les arêtes des bases : 3 + 3 = 6.
La ceinture ajoute 6 arêtes reliant les bases : 6 + 6 = 12.
Enfin, les faces sont les 2 bases et les 6 triangles latéraux : 2 + 6 = 8.
On compte ensuite les arêtes des bases : 3 + 3 = 6.
La ceinture ajoute 6 arêtes reliant les bases : 6 + 6 = 12.
Enfin, les faces sont les 2 bases et les 6 triangles latéraux : 2 + 6 = 8.
L'octaèdre possède donc 6 sommets, 12 arêtes et 8 faces. Le contrôle d'Euler s'écrit ainsi :
Le résultat vaut 2, comme attendu pour un polyèdre convexe. Le calcul confirme la structure d'antiprisme sans faire intervenir les polyèdres étoilés de Kepler-Poinsot.
En pratique
Pour reconnaître un antiprisme sur un dessin ou un modèle, repérez d'abord deux polygones parallèles et identiques. Vérifiez ensuite que la surface qui les relie est faite de triangles alternés. Ces deux indices séparent l'antiprisme d'un prisme, dont les faces latérales sont généralement des parallélogrammes.
Pour construire un modèle en carton, dessinez deux polygones congruents, placez-les sur deux plans parallèles en faisant tourner l'un d'eux, puis reliez leurs sommets selon l'alternance prévue. Le patron doit conserver les deux bases et toute la ceinture triangulaire.
Pour communiquer sans ambiguïté, dites « antiprisme à bases triangulaires » lorsque vous parlez de la construction géométrique. L'appellation historique « antiprisme de Kepler » peut être conservée, à condition de ne pas l'employer pour les solides étoilés de Kepler-Poinsot.
À ne pas confondre
Un antiprisme n'est pas un prisme : dans un prisme, les deux bases sont reliées par des faces latérales qui ne forment pas la ceinture alternée de triangles caractéristique de l'antiprisme. Le cas qui tranche est celui des bases triangulaires : l'antiprisme régulier correspondant est un octaèdre, tandis qu'un prisme triangulaire a cinq faces.
Un antiprisme de Kepler n'est pas un polyèdre de Kepler-Poinsot. Le premier appartient à la famille des antiprismes construits avec deux bases polygonales et une ceinture triangulaire ; les seconds forment une famille particulière de polyèdres réguliers étoilés et non convexes. La convexité et la présence des deux bases parallèles permettent de trancher.
Limites et pièges
Le mot « régulier » ajoute des conditions qui ne définissent pas tous les antiprismes. Un antiprisme peut avoir deux bases congruentes sans que celles-ci soient des polygones réguliers ni que toutes les faces latérales soient équilatérales. Le symptôme d'une généralisation abusive est d'exiger un octaèdre dès que deux bases triangulaires sont présentes ; il faut alors vérifier aussi la symétrie et les longueurs.
La rotation entre les bases est indispensable à la lecture de la ceinture alternée, mais sa valeur n'est pas une donnée universelle de la définition. Une représentation aplatie peut masquer cette rotation. Il faut donc examiner la structure en volume et les raccordements, plutôt que conclure à partir d'un simple contour.
Enfin, l'expression historique peut provoquer un contresens documentaire. Si un texte parle de solides étoilés, de pointes ou de polyèdres réguliers non convexes, il traite des Kepler-Poinsot et non de la famille des antiprismes.
Pour aller plus loin
Pour prolonger la construction, la fiche consacrée à l'antiprisme présente la famille de façon générale et permet de comparer les nombres de côtés des bases. La fiche consacrée à l'octaèdre montre le cas triangulaire particulier : elle aide à relier la construction d'antiprisme au solide obtenu dans l'exemple.
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