dodécaèdre étoilé

Imaginez un solide couvert de pointes, comme un hérisson géométrique. Certaines arêtes se poursuivent derrière les parties visibles : une face peut donc être un pentagone étoilé entier, même si l’œil n’en voit que cinq triangles séparés.

Le nom dodécaèdre étoilé regroupe trois solides réguliers non convexes. Tous ont 12 faces et 30 arêtes, mais leurs faces et leurs nombres de sommets les distinguent. Le petit et le grand dodécaèdre étoilés ont des faces en pentagrammes ; le grand dodécaèdre a des faces pentagonales ordinaires qui se croisent.

Dans la classification usuelle des polyèdres réguliers étoilés, l’appellation dodécaèdre étoilé couvre trois des quatre solides de Kepler-Poinsot. Le quatrième est le grand icosaèdre. Ces objets sont réguliers parce que leurs faces sont des polygones réguliers identiques et que leurs sommets ont tous la même configuration. Ils sont non convexes : leurs faces ou leurs prolongements se croisent.

Le petit dodécaèdre étoilé, décrit par Kepler en 1619, possède 12 faces en pentagones croisés, 30 arêtes et 12 sommets placés comme ceux d’un icosaèdre régulier. Ses fragments visibles sont cinq triangles d’or par face. Une fois ses pointes pyramidales retirées, il reste un dodécaèdre régulier. Son dual est le grand dodécaèdre.

Le grand dodécaèdre étoilé, également décrit par Kepler en 1619, a 12 faces en pentagones croisés, 30 arêtes et 20 sommets placés comme ceux d’un dodécaèdre régulier. Ses fragments visibles sont aussi des triangles d’or. Le retrait des pointes fait apparaître un icosaèdre régulier ; son dual est le grand icosaèdre. Le grand dodécaèdre, décrit par Poinsot en 1810, a 12 faces pentagonales non étoilées, 30 arêtes et 12 sommets. Cinq faces s’y croisent à chaque sommet. Il est dual du petit dodécaèdre étoilé et peut être vu comme un dodécaèdre régulier creusé de 20 pyramides triangulaires.

On cherche à identifier un modèle parmi les trois dodécaèdres étoilés. Les données observées sont : 12 faces, 30 arêtes, 20 sommets, des faces en pentagrammes et un icosaèdre régulier qui apparaît lorsque les pointes pyramidales sont retirées.

1. Les faces en pentagrammes excluent le grand dodécaèdre, dont les faces complètes sont des pentagones non étoilés.

2. Le petit dodécaèdre étoilé n’a que 12 sommets et laisse apparaître un dodécaèdre régulier après retrait des pointes. Les deux observations l’excluent.

3. Les 20 sommets et le cœur icosaédrique concordent avec le grand dodécaèdre étoilé. Le modèle est donc identifié sans se fier à sa seule silhouette.

Le contrôle est refaisable : les sommets doivent coïncider avec ceux d’un dodécaèdre régulier, et chaque face complète doit suivre un pentagone croisé malgré ses fragments visibles séparés.

Devant une maquette, commencez par suivre une face complète à travers ses croisements. Ce geste sépare les deux solides à faces pentagrammiques du grand dodécaèdre, dont chaque face est un pentagone ordinaire.

Parmi les deux modèles à faces pentagrammiques, comptez les sommets : 12 indiquent le petit dodécaèdre étoilé, tandis que 20 indiquent le grand dodécaèdre étoilé. La silhouette seule ne suffit pas.

Pour contrôler un patron ou une représentation, observez aussi le solide central révélé par le retrait mental des pointes. Un cœur dodécaédrique correspond au petit dodécaèdre étoilé ; un cœur icosaédrique correspond au grand dodécaèdre étoilé.

Un dodécaèdre régulier est convexe et possède 12 faces pentagonales qui ne se traversent pas. Si le solide présente des croisements ou des pointes rentrantes, il ne s’agit pas de ce dodécaèdre convexe, même si celui-ci forme le cœur de certaines constructions étoilées.

Un icosaèdre régulier est convexe et possède des faces triangulaires. Il peut fournir les positions des sommets ou le cœur apparent d’un dodécaèdre étoilé sans devenir pour autant le même polyèdre.

Les triangles visibles sur une pointe ne sont pas nécessairement des faces. Dans les deux dodécaèdres à faces étoilées, cinq triangles d’or visibles appartiennent à une même face en pentagone croisé. Il faut prolonger mentalement les arêtes à travers les croisements avant de compter les faces.

Le mot étoilé ne signifie pas toujours « face en étoile ». Les 12 faces du grand dodécaèdre sont des pentagones réguliers non étoilés ; c’est leur assemblage auto-intersectant qui produit le polyèdre étoilé.

La relation d’Euler des polyèdres convexes ne se transpose pas sans préciser la convention de comptage. Pour le grand dodécaèdre, les nombres annoncés donnent directement $S-A+F=12-30+12=-6S-A+F=12-30+12=-6$. La valeur positive 6 résulte d’une erreur de signe si les lettres désignent bien ces sommets, arêtes et faces.

Enfin, l’expression dodécaèdre étoilé n’identifie pas un solide unique. Pour lever l’ambiguïté, il faut préciser petit dodécaèdre étoilé, grand dodécaèdre étoilé ou grand dodécaèdre. L’Étoile d’Alexander reprend la forme de ce dernier.

Le dodécaèdre permet de reconnaître le noyau convexe du petit dodécaèdre étoilé et les positions des 20 sommets du grand dodécaèdre étoilé.

L’icosaèdre éclaire l’autre parenté : ses 12 sommets sont ceux du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre, tandis qu’il forme le cœur du grand dodécaèdre étoilé.