GéométrieNotion · Glossaire
dodécaèdre régulier
Le dodécaèdre régulier convexe est un polyèdre appartenant à la famille des solides de Platon. Il possède 12 faces pentagonales régulières, 20 sommets et 30 arêtes. À chaque sommet convergent exactement 3 arêtes, ce qui confère à ce polyèdre un degré sommital uniforme égal à 3. Il est le dual de l'icosaèdre régulier : en reliant les centres des faces du dodécaèdre, on reconstruit un icosaèdre, et réciproquement. Parmi les cinq solides de Platon, le dodécaèdre régulier est le seul dont toutes les faces sont des pentagones.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les conditions qui rendent un dodécaèdre régulier.
- Vérifier les 30 arêtes et les 20 sommets à partir des 12 faces.
- Interpréter la dualité avec l’icosaèdre régulier.
En clair
Imaginez douze pentagones réguliers identiques assemblés sans trou pour former une coque fermée. Chaque côté d’un pentagone rejoint le côté d’un autre, et trois arêtes se rencontrent à chaque coin. Si cette coque est convexe et que les pentagones sont assemblés de la même manière autour de chaque sommet, l’objet obtenu est un dodécaèdre régulier. Il possède 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets. Sa régularité ne tient donc pas seulement à la forme de ses faces : leur assemblage est également identique autour de chaque sommet.
Définition
Un dodécaèdre régulier est un polyèdre convexe dont les 12 faces sont des pentagones réguliers congruents, c’est-à-dire de même forme et de mêmes dimensions. Deux faces voisines partagent une arête. Le solide compte ainsi 30 arêtes et 20 sommets. En chaque sommet, exactement trois arêtes et trois faces se rencontrent : tous les sommets ont donc le même degré, égal à 3.
Ces propriétés en font l’un des cinq solides de Platon, les polyèdres convexes dont toutes les faces sont des polygones réguliers congruents et dont l’assemblage est le même à chaque sommet. Dans cette famille, le dodécaèdre régulier est le seul à avoir des faces pentagonales.
Son dual est l’icosaèdre régulier. Placer un point au centre de chacune des 12 faces, puis relier les points correspondant à des faces voisines, produit les 12 sommets et les 30 arêtes d’un icosaèdre. L’opération réciproque, appliquée aux 20 faces de l’icosaèdre, redonne les 20 sommets du dodécaèdre.
Un exemple, pas à pas
On veut contrôler les nombres d’arêtes et de sommets d’une maquette fermée. Données : 12 faces ; 5 côtés et 5 sommets par face ; 2 faces par arête ; 3 faces par sommet.
1. Les 12 pentagones fournissent 12 × 5 = 60 côtés de faces.
2. Chaque arête appartient à deux faces. Le total précédent compte donc chaque arête deux fois : 60 ÷ 2 = 30 arêtes.
3. Les faces fournissent aussi 12 × 5 = 60 occurrences de sommets. Trois faces se rencontrent à chaque sommet : 60 ÷ 3 = 20 sommets.
Le contrôle est refaisable en comptant les incidences : 30 × 2 redonne 60 côtés de faces, et 20 × 3 redonne 60 occurrences de sommets. La figure résume ces deux partages d’un même total.
En pratique
Sur une maquette, on reconnaît d’abord le dodécaèdre régulier à ses faces : elles doivent toutes être des pentagones réguliers identiques. Si les pentagones diffèrent ou si une face n’est pas régulière, il faut parler plus largement de dodécaèdre, et non de dodécaèdre régulier.
Pour contrôler l’assemblage sans démonter la maquette, on compte les faces autour de plusieurs sommets. Il doit toujours y en avoir trois. Si ce nombre varie, l’objet n’est pas un solide de Platon, même s’il possède douze faces.
Pour passer au solide dual, on marque le centre de chaque face et on relie les centres de faces qui partagent une arête. Ce geste est préférable à un simple dessin à main levée, car la relation de voisinage détermine précisément l’icosaèdre obtenu.
À ne pas confondre
Dodécaèdre quelconque. Le mot « dodécaèdre » impose seulement douze faces. Le qualificatif « régulier » exige ici douze pentagones réguliers congruents et le même assemblage à chaque sommet. Un polyèdre à douze faces de formes différentes est un dodécaèdre, mais pas un dodécaèdre régulier.
Icosaèdre régulier. Les deux solides sont duaux, mais ils ne sont pas identiques. Le dodécaèdre porte 12 faces pentagonales et 20 sommets ; l’icosaèdre échange ces rôles, avec 20 faces et 12 sommets. Le passage par les centres des faces permet de trancher.
Limites et pièges
Douze faces ne suffisent pas. Le symptôme du piège est un classement obtenu par le seul comptage des faces. Il faut aussi vérifier que les faces sont des pentagones réguliers congruents et que trois d’entre elles se rencontrent à chaque sommet.
Un dessin en perspective peut masquer des éléments. Certaines arêtes ou faces se superposent visuellement. Il ne faut pas conclure à partir des seuls contours visibles ; un patron, une maquette ou un comptage systématique doit retrouver exactement 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets.
La construction du dual dépend du voisinage. Relier arbitrairement les douze centres de faces ne suffit pas. Deux centres sont reliés exactement lorsque leurs faces partagent une arête ; sans cette règle, le graphe obtenu n’est pas celui de l’icosaèdre régulier.
Pour aller plus loin
La dualité échange les faces et les sommets tout en conservant le nombre d’arêtes : les 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes du dodécaèdre deviennent 12 sommets, 20 faces et 30 arêtes dans l’icosaèdre. Cette correspondance invite à étudier les polyèdres par leurs relations de voisinage, indépendamment de leur orientation ou de leur taille.
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