grand dodécaèdre

Imaginez douze pentagones réguliers qui ne forment pas une coque bombée : ils traversent l’intérieur du solide et se coupent. Le résultat est le grand dodécaèdre, un polyèdre régulier mais non convexe. Il possède 12 faces, 30 arêtes et 12 sommets. Cinq faces se rencontrent à chaque sommet et se croisent mutuellement.

Une autre manière de se le représenter consiste à partir d’un dodécaèdre et à imaginer vingt pyramides triangulaires excavées. Cette image mentale fait apparaître les portions visibles de ses faces pentagonales.

Le grand dodécaèdre est un polyèdre régulier non convexe appartenant aux quatre solides de Kepler-Poinsot. Ses 12 faces sont des pentagones réguliers. Il compte 30 arêtes et 12 sommets, qui coïncident avec les arêtes et les sommets d’un icosaèdre régulier. À chacun de ses sommets, cinq faces pentagonales se rencontrent et se croisent mutuellement.

On peut visualiser sa géométrie à partir d’un dodécaèdre dont vingt pyramides triangulaires auraient été excavées. Dans cette représentation, la partie visible de chaque face est un pentagone auquel manque son pentagone étoilé intérieur. Cette description aide à voir la non-convexité, mais ce sont les faces pentagonales complètes, y compris leurs parties traversantes, qui définissent le polyèdre.

En notant S le nombre de sommets, A le nombre d’arêtes et F le nombre de faces, sa caractéristique d’Euler-Poincaré est $S-A+F=-6S-A+F=-6$. Son polyèdre dual est le petit dodécaèdre étoilé. Louis Poinsot a découvert le grand dodécaèdre en 1810. Les trois autres solides de Kepler-Poinsot sont le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre étoilé et le grand icosaèdre.

Vérifions les nombres annoncés en comptant les incidences du grand dodécaèdre. Une incidence associe ici une face à l’un de ses côtés ou à l’un de ses sommets.

Données :
– le solide possède 12 faces pentagonales ;
– chaque pentagone a 5 côtés et 5 sommets ;
– chaque arête appartient à 2 faces ;
– 5 faces se rencontrent à chaque sommet.

1. Les faces fournissent 12 × 5 = 60 incidences face-côté. Chaque arête étant comptée depuis deux faces, le nombre d’arêtes vaut 60 ÷ 2 = 30.

2. Les faces fournissent aussi 12 × 5 = 60 incidences face-sommet. Comme cinq faces passent par chaque sommet, le nombre de sommets vaut 60 ÷ 5 = 12.

3. Le contrôle d’Euler-Poincaré utilise les 12 sommets, les 30 arêtes et les 12 faces obtenus : $12-30+12=-612-30+12=-6$. Le résultat retrouve exactement la valeur −6 annoncée pour le grand dodécaèdre.

Pour reconnaître le grand dodécaèdre dans une représentation, observez les faces plutôt que sa seule silhouette. Le critère décisif est la présence de douze pentagones réguliers qui se croisent, avec cinq faces réunies à chaque sommet.

Pour contrôler un modèle, comptez les incidences comme dans l’exemple guidé. Si les 12 faces donnent 30 arêtes et 12 sommets, le bilan S − A + F doit valoir −6. Un bilan différent signale que le modèle ou le comptage ne suit pas la structure annoncée.

Pour choisir une représentation, utilisez l’excavation de vingt pyramides triangulaires lorsque vous voulez faire ressortir les parties visibles. Préférez la description par faces complètes lorsque vous étudiez les croisements ou la régularité du polyèdre.

Le dodécaèdre. L’image des vingt pyramides excavées sert à visualiser le grand dodécaèdre, mais elle ne rend pas les deux objets identiques. Le cas tranche dès que les faces pentagonales se croisent : on étudie alors le grand dodécaèdre non convexe.

L’icosaèdre régulier. Le grand dodécaèdre partage avec lui ses 30 arêtes et ses 12 sommets, sans partager ses faces. Si les faces étudiées sont douze pentagones réguliers croisés et que leur agencement compte 30 arêtes, 12 sommets et cinq faces à chaque sommet, l’objet est le grand dodécaèdre.

Le petit dodécaèdre étoilé. Il est le dual du grand dodécaèdre, et non un autre nom pour le même solide. La relation de dualité distingue donc ces deux membres de la famille de Kepler-Poinsot.

Une face ne se réduit pas à sa portion visible. Les croisements peuvent donner l’impression que chaque pentagone est morcelé. Il faut suivre le pentagone régulier complet à travers les intersections, plutôt que compter chaque morceau apparent comme une face.

Des sommets et arêtes communs ne suffisent pas à identifier un solide. Le grand dodécaèdre coïncide avec l’icosaèdre régulier par ses 12 sommets et ses 30 arêtes. Pour lever l’ambiguïté, il faut également examiner la nature et l’agencement des faces.

Le bilan d’Euler-Poincaré vaut ici −6. Remplacer cette valeur par celle attendue pour une enveloppe convexe effacerait précisément l’effet des faces qui se croisent. Le contrôle pertinent consiste à reprendre S = 12, A = 30 et F = 12.

Le dodécaèdre donne le point de départ convexe de la visualisation par excavation et aide à comparer les deux structures.

L’icosaèdre éclaire le fait remarquable que ses arêtes et ses sommets coïncident avec ceux du grand dodécaèdre.

La caractéristique d’Euler permet de replacer le bilan S − A + F = −6 dans l’étude générale des polyèdres.