GéométrieNotion · Glossaire
grand icosaèdre
Le grand icosaèdre est un polyèdre régulier étoilé non convexe, formé de 20 faces triangulaires équilatérales qui se croisent. Il possède 30 arêtes et 12 sommets, avec cinq faces réunies à chaque sommet. Cet inventaire permet de distinguer sa structure abstraite des croisements visibles dans une projection.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le grand icosaèdre à ses 20 faces triangulaires croisées.
- Relier ses 12 sommets, 30 arêtes et 20 faces à la caractéristique d'Euler-Poincaré.
- Contrôler les 60 incidences face-sommet par deux comptages.
- Le distinguer de l'icosaèdre régulier et situer son dual parmi les solides de Kepler-Poinsot.
En clair
Imaginez vingt triangles équilatéraux prolongés à travers l'intérieur d'un solide. Ils ne forment pas une coque bombée : ils se traversent et dessinent une forme étoilée. Cette rencontre de faces produit le grand icosaèdre.
On y compte 12 sommets et 30 arêtes. À chacun des 12 sommets, cinq faces triangulaires se rencontrent en se croisant. Le mot « régulier » décrit ici la répétition uniforme des mêmes triangles et du même agencement, pas la convexité.
Définition
Le grand icosaèdre est un polyèdre régulier non convexe. Ses 20 faces sont des triangles équilatéraux. Il possède 30 arêtes et 12 sommets. La différence décisive avec l'icosaèdre régulier est l'agencement non convexe : cinq faces se rencontrent à chaque sommet et se croisent.
Notons S le nombre de sommets, A le nombre d'arêtes et F le nombre de faces. Pour ce solide, S vaut 12, A vaut 30 et F vaut 20. Ces nombres vérifient la caractéristique d'Euler-Poincaré : . Le comptage porte sur les faces triangulaires du polyèdre, même lorsque leur dessin se croise.
Louis Poinsot a découvert ce solide en 1809. Il appartient aux quatre solides de Kepler-Poinsot, avec le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre. Son polyèdre dual est le grand dodécaèdre étoilé.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'inventaire du grand icosaèdre et vérifions que ses nombres se répondent. Le dessin représente ses 12 sommets et ses 30 arêtes dans une projection ; les croisements visibles ne créent ni sommet ni arête supplémentaires.
Données.
Faces triangulaires : F = 20.
Arêtes : A = 30.
Sommets : S = 12.
Faces réunies à chaque sommet : 5.
Faces triangulaires : F = 20.
Arêtes : A = 30.
Sommets : S = 12.
Faces réunies à chaque sommet : 5.
Étape 1. Chaque face triangulaire possède trois sommets. Le comptage par les faces donne 20 × 3 = 60 incidences entre une face et un sommet.
Étape 2. Cinq faces se rencontrent à chacun des 12 sommets. Le comptage par les sommets donne 12 × 5 = 60 incidences. Les deux décomptes concordent.
Étape 3. Calculons enfin la caractéristique d'Euler-Poincaré :
Contrôle. On retrouve 60 incidences par deux chemins indépendants, puis la valeur 2 annoncée. Il faut compter les 20 triangles entiers, et non les régions dessinées par leurs intersections.
En pratique
Pour identifier un modèle, observez d'abord les faces. Vingt triangles équilatéraux qui se croisent indiquent le grand icosaèdre ; si la surface reste convexe et sans croisement, il faut préférer l'icosaèdre régulier.
Pour contrôler un dessin, comptez les 12 sommets d'origine et vérifiez que cinq faces y arrivent. Les intersections produites ailleurs par la projection ne doivent pas être ajoutées à l'inventaire des sommets.
Pour vérifier les données combinatoires, comparez les 60 incidences face-sommet obtenues par 20 × 3 et par 12 × 5. Complétez le contrôle avec 12 − 30 + 20 = 2.
À ne pas confondre
Avec l'icosaèdre régulier. Les deux noms renvoient à 20 faces triangulaires, 30 arêtes et 12 sommets, mais le critère qui tranche est la convexité. Les faces du grand icosaèdre se croisent ; celles de l'icosaèdre régulier forment une surface convexe.
Avec le grand dodécaèdre étoilé. Il ne s'agit pas d'un second nom du grand icosaèdre. La source les relie par dualité : le grand dodécaèdre étoilé est le polyèdre dual du grand icosaèdre.
Avec le grand dodécaèdre. Les deux appartiennent aux solides de Kepler-Poinsot, mais leur nom et leur place dans la liste sont distincts. Un modèle à 20 faces triangulaires désigne le grand icosaèdre.
Limites et pièges
Un croisement dessiné n'est pas un nouveau sommet. Dans une projection plane, plusieurs arêtes peuvent sembler se couper. Le symptôme est un total supérieur à 12 ; il faut revenir aux sommets du polyèdre et ignorer les simples intersections visuelles.
Les régions visibles ne sont pas les faces à recompter. Les croisements découpent optiquement les triangles. Si le total dépasse 20, il faut suivre chaque triangle équilatéral entier à travers les intersections.
Régulier ne signifie pas forcément convexe. Écarter le grand icosaèdre parce que ses faces se traversent contredit précisément sa définition. Il faut vérifier ensemble la régularité des 20 triangles et la non-convexité de leur agencement.
La relation d'Euler utilise l'inventaire du polyèdre. Remplacer S, A ou F par des nombres lus sur les fragments d'une projection fait échouer le calcul. Avec 12 sommets, 30 arêtes et 20 faces, le résultat est exactement 2.
Pour aller plus loin
Le glossaire de l'icosaèdre permet de comparer la structure convexe de référence avec l'agencement croisé du grand icosaèdre.
La fiche polyèdre replace faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général employé pour décrire ces solides.
La caractéristique d'Euler approfondit le bilan S − A + F utilisé ici avec les valeurs 12, 30 et 20.
Le grand dodécaèdre présente un autre membre des quatre solides de Kepler-Poinsot cités dans la définition.
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