icosidodécaèdre

Imaginez un ballon géométrique dont la surface alterne deux sortes de pièces : 20 triangles équilatéraux et 12 pentagones réguliers. Leur assemblage forme 32 faces autour de 30 sommets, reliés par 60 arêtes. Ce solide très symétrique est l'icosidodécaèdre. Son nom fait écho aux deux solides réguliers qui permettent de le construire : l'icosaèdre et le dodécaèdre.

L'icosidodécaèdre est un polyèdre archimédien : ses faces sont des polygones réguliers de plusieurs types, assemblés avec la même organisation autour de chaque sommet. Il compte 20 faces triangulaires équilatérales et 12 faces pentagonales régulières, soit 32 faces au total. Son réseau comporte 60 arêtes et 30 sommets. Johannes Kepler lui a attribué son nom.

Deux constructions géométriques décrivent le même solide. On peut prendre l'intersection d'un icosaèdre et d'un dodécaèdre ayant le même centre, après avoir adapté leur taille. On peut aussi tronquer les sommets d'un icosaèdre jusqu'au milieu de ses arêtes : les 20 faces triangulaires subsistent, tandis que les 12 sommets coupés donnent les 12 pentagones. Cette opération est aussi appelée rectification de l'icosaèdre.

Une modification précise conduit à un autre solide. L'icosidodécaèdre étant posé sur une face pentagonale, une rotation d'un dixième de tour de sa moitié supérieure produit le pseudo-icosidodécaèdre, ou gyrobirotonde pentagonale. Celui-ci appartient aux polyèdres de Johnson, tandis que l'icosidodécaèdre non tourné est l'orthobirotonde pentagonale.

On dispose d'un modèle annoncé comme un icosidodécaèdre. Vérifions que son inventaire de faces, d'arêtes et de sommets est cohérent. Le schéma rassemble les deux familles de faces et le contrôle numérique final.

Données.
Faces triangulaires équilatérales : 20.
Faces pentagonales régulières : 12.
Sommets : 30.
Arêtes : 60.

Étape 1. Notons F le nombre total de faces. Additionnons les deux familles :

Étape 2. Notons V le nombre de sommets et E le nombre d'arêtes. Pour un polyèdre convexe, la relation d'Euler donne V − E + F = 2. Remplaçons chaque lettre par la valeur annoncée :

Contrôle. Le total est bien de 32 faces et la relation d'Euler aboutit exactement à 2. Cet accord confirme la cohérence des trois nombres ; il ne suffit pas, à lui seul, à identifier la forme ou la régularité des faces.

Pour reconnaître un modèle, on commence par distinguer ses deux familles de faces. La présence de 20 triangles équilatéraux et de 12 pentagones réguliers oriente vers l'icosidodécaèdre ; si toutes les faces sont triangulaires, il faut plutôt examiner l'icosaèdre.

Pour contrôler un patron ou une maquette, on compte séparément faces, arêtes et sommets, puis on vérifie la relation d'Euler. Le résultat 2 est une condition nécessaire de cohérence pour un polyèdre convexe, mais il ne suffit pas à en établir la réalisabilité : l'organisation réelle des faces doit encore être observée.

Pour construire le solide à partir d'un icosaèdre, on coupe chaque sommet au niveau des milieux des arêtes adjacentes. Une coupe moins profonde ou plus profonde produit une autre troncature : les triangles et les pentagones restent réguliers, mais les longueurs d'arêtes des deux familles ne coïncident plus, si bien que le solide n'est plus archimédien.

Avec l'icosaèdre. L'icosaèdre possède 20 faces, toutes triangulaires. L'apparition de 12 pentagones réguliers en plus des 20 triangles distingue l'icosidodécaèdre.

Avec le dodécaèdre. Le dodécaèdre possède 12 faces, toutes pentagonales. Un modèle qui présente aussi 20 triangles appartient donc à une autre famille : celle de l'icosidodécaèdre.

Avec le pseudo-icosidodécaèdre. Les deux solides partagent les mêmes types et nombres de faces. Le cas qui tranche est l'assemblage : une rotation d'un dixième de tour de la moitié supérieure donne la gyrobirotonde pentagonale, un polyèdre de Johnson, et non l'icosidodécaèdre archimédien, qui est l'orthobirotonde pentagonale.

Une troncature quelconque ne convient pas. Couper les sommets d'un icosaèdre ne suffit pas : les plans de coupe doivent passer par les milieux des arêtes. À une autre profondeur uniforme, les faces triangulaires et pentagonales restent régulières, mais leurs arêtes n'ont plus la même longueur : on n'obtient donc plus l'icosidodécaèdre archimédien.

La rotation doit être précise. Pour obtenir le pseudo-icosidodécaèdre décrit ici, la moitié supérieure tourne d'un dixième de tour, soit 36°. Un autre angle ne justifie pas cette identification.

Les nombres ne déterminent pas seuls le solide. Retrouver 30 sommets, 60 arêtes et 32 faces, ou même vérifier V − E + F = 2, établit une cohérence combinatoire. Il faut encore contrôler la régularité des faces et leur assemblage pour conclure à un icosidodécaèdre.

Polyèdre — Replacer faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général des solides.

Icosaèdre — Examiner le solide régulier dont la rectification fournit l'icosidodécaèdre.

Dodécaèdre — Étudier l'autre solide régulier associé à la construction par intersection.

Polyèdre de Johnson — Situer la famille à laquelle appartient le pseudo-icosidodécaèdre.