polyèdre de Johnson

Prenez un carré et attachez un triangle équilatéral à chacun de ses quatre côtés. En repliant ce patron, les pointes des triangles se rejoignent : on obtient une pyramide carrée dont les cinq faces sont régulières.

Ce solide est le premier polyèdre de Johnson, J01. Il est convexe, mais ses sommets ne jouent pas tous le même rôle. Un sommet réunit quatre triangles ; chacun des quatre autres réunit un carré et deux triangles. Cette dissymétrie le tient à l'écart des solides platoniciens et archimédiens.

Un polyèdre de Johnson est un polyèdre convexe bordé uniquement par des polygones réguliers. Chaque face a donc tous ses côtés et tous ses angles égaux, mais deux faces du solide ne sont pas nécessairement du même type : des triangles équilatéraux peuvent côtoyer des carrés ou des pentagones réguliers. La régularité des faces n'impose ni l'identité de tous les sommets ni celle de toutes les faces.

La définition exclut quatre familles déjà classées : les polyèdres platoniciens, les polyèdres archimédiens, les prismes et les antiprismes. Une forme à faces régulières ne devient donc un polyèdre de Johnson qu'après vérification de sa convexité et de ces exclusions. La liste ainsi obtenue contient exactement 92 solides, repérés de J01 à J92. Norman Johnson l'a établie en 1966 ; Victor Zalgaller en a donné une confirmation rigoureuse en 1967.

La face est un polygone régulier plan. Deux faces voisines partagent une arête, et plusieurs arêtes se rencontrent en un sommet. L'assemblage ferme une surface et délimite un solide convexe : aucun creux ne rentre vers l'intérieur.

Dans la pyramide carrée J01, une face carrée est reliée à quatre faces triangulaires équilatérales. Chaque côté du carré devient une arête commune avec un triangle ; les huit autres côtés des triangles se rejoignent deux à deux jusqu'au sommet. Cette incidence détermine 5 faces, 8 arêtes et 5 sommets. La taille, la couleur et l'orientation d'une maquette ne changent pas cette structure.

Classons la pyramide carrée J01 et contrôlons son inventaire à partir du patron formé d'un carré et de quatre triangles équilatéraux.

Données.
Un carré régulier de côté 1.
Quatre triangles équilatéraux de côté 1.
Chaque côté est partagé par exactement deux faces après pliage.

Étape 1. Le patron compte $1+4=51+4=5$ faces, toutes régulières.

Étape 2. Les faces portent au total $4+4\times 3=164+4\backslash times3=16$ côtés. Chaque arête appartenant à deux faces, le solide possède $16÷2=816\backslash div2=8$ arêtes.

Étape 3. Pour un polyèdre convexe, la relation d'Euler donne le nombre de sommets : $V=2+E-F=2+8-5=5V=2+E-F=2+8-5=5$. On retrouve la pointe et les quatre sommets de la base.

Étape 4. La pointe réunit quatre triangles, alors qu'un sommet de la base réunit deux triangles et un carré. Les sommets ne sont donc pas tous équivalents. Avec une seule base et une pointe, le solide n'est ni un prisme ni un antiprisme.

Résultat. La pyramide est convexe, ses faces sont régulières et elle échappe aux quatre familles exclues : c'est bien J01. Le contrôle final est $V-E+F=5-8+5=2V-E+F=5-8+5=2$.

Devant une maquette, commencez par inventorier les faces. Si l'une d'elles n'est pas un polygone régulier, la classification de Johnson ne convient pas ; une description plus générale comme polyèdre reste alors préférable.

Vérifiez ensuite la convexité en recherchant un renfoncement. Un assemblage à faces régulières qui rentre vers l'intérieur n'appartient pas aux 92 solides, même si son nom ou son apparence évoque l'un d'eux.

Enfin, comparez l'organisation des faces autour des sommets et recherchez deux bases parallèles. Des sommets tous identiques orientent vers les familles platonicienne ou archimédienne ; deux bases parallèles imposent de tester d'abord le prisme ou l'antiprisme.

Polyèdre platonicien. Ses faces régulières sont toutes congruentes et ses sommets ont la même organisation. J01 échoue à ce test : sa pointe ne rencontre que des triangles, tandis qu'un sommet de base rencontre aussi un carré.

Polyèdre archimédien. Il assemble aussi des faces régulières, mais tous ses sommets sont équivalents. La présence de deux organisations de sommets dans J01 tranche en faveur de la famille de Johnson.

Prisme ou antiprisme. Ces deux familles possèdent deux bases parallèles et congruentes. J01 possède une base carrée et une pointe opposée, donc aucune seconde base : ce critère suffit à l'en écarter.

Des faces régulières ne rendent pas le solide régulier. Le symptôme est la coexistence de plusieurs types de faces ou de sommets. Il faut contrôler séparément chaque face, puis l'organisation autour de chaque sommet.

La convexité est obligatoire. Un renfoncement ou une arête qui rentre dans le solide exclut la classification, même lorsque toutes les faces visibles sont régulières. Il faut alors parler d'un autre polyèdre à faces régulières, sans lui attribuer un numéro J.

Le numéro n'est pas un décompte. Dans J01, « 01 » indique la place du solide dans la classification ; il ne donne ni 1 face, ni 1 sommet, ni 1 type de face. L'inventaire doit être effectué sur la structure elle-même.

Réussir les deux premiers tests ne suffit pas. Un solide convexe à faces régulières peut encore être platonicien, archimédien, prismatique ou antiprismatique. Il faut appliquer les quatre exclusions avant de retenir l'une des 92 étiquettes.

Le polyèdre fournit le vocabulaire des faces, arêtes et sommets utilisé pour décrire toute la famille.

Le prisme présente l'une des familles explicitement exclues et permet de tester le rôle des deux bases parallèles.

L'antiprisme complète la comparaison en montrant une autre organisation régulière autour de deux bases congruentes.