triaconta-icosa-dodécaèdre

Imaginez une coque fermée dont toutes les faces sont des polygones réguliers. On y compte 30 carrés, 20 triangles équilatéraux et 12 pentagones, soit 62 faces en tout. Leur assemblage forme le triaconta-icosa-dodécaèdre.

Sa forte symétrie signifie que la même organisation se retrouve lorsqu'on fait tourner le solide selon certains axes. Les trois familles de faces restent pourtant faciles à distinguer et à compter.

Le triaconta-icosa-dodécaèdre est un polyèdre convexe de la famille des solides d'Archimède ; son appellation usuelle est rhombicosidodécaèdre. Sa surface est formée de 20 triangles équilatéraux, 30 carrés et 12 pentagones réguliers, pour un total de 62 faces. Comme pour tout solide archimédien, les faces sont régulières et ses sommets jouent des rôles équivalents par symétrie.

Le comptage des côtés des faces donne 240 incidences entre une face et une arête. La surface étant fermée, chaque arête appartient à deux faces : le solide possède donc 120 arêtes. La formule d'Euler pour un polyèdre convexe permet alors d'en déduire 60 sommets. Ces totaux décrivent la quantité d'éléments, mais pas à eux seuls leur raccordement local.

Le solide peut être obtenu par des opérations de truncature ou d'expansion appliquées à des solides platoniciens ou archimédiens. Ces transformations modifient les sommets, les arêtes et les faces tout en conservant une organisation globale très symétrique.

On veut retrouver le nombre d'arêtes et de sommets à partir des seules faces annoncées. Les données sont 20 triangles, 30 carrés et 12 pentagones ; le polyèdre est convexe et sa surface est fermée.

1. Les triangles apportent $20\times 3=6020\backslash times3=60$ côtés de faces, les carrés $30\times 4=12030\backslash times4=120$ et les pentagones $12\times 5=6012\backslash times5=60$.

2. Le total vaut $60+120+60=24060+120+60=240$ incidences face–arête. Chaque arête est comptée depuis ses deux faces, donc $A=240÷2=120A=240\backslash div2=120$, où A désigne le nombre d'arêtes. La figure rend visible ce double comptage.

3. Le nombre de faces vaut $F=20+30+12=62F=20+30+12=62$. Pour le nombre de sommets noté S, la formule d'Euler donne $S-A+F=2S-A+F=2$, soit $S-120+62=2S-120+62=2$. On obtient donc $S=60S=60$.

Contrôle. La relation d'Euler est bien satisfaite : $60-120+62=260-120+62=2$. Le triaconta-icosa-dodécaèdre compte ainsi 62 faces, 120 arêtes et 60 sommets.

Pour contrôler une maquette, on commence par classer ses faces selon leur nombre de côtés. Les comptes attendus sont 20 triangles, 30 carrés et 12 pentagones.

Pour vérifier un modèle informatique, on additionne les côtés de toutes les faces. Si la coque est fermée, 240 incidences face–arête doivent former 120 arêtes ; un autre résultat signale un compte erroné ou un bord libre.

Pour distinguer deux polyèdres qui affichent les mêmes totaux, les dénombrements globaux ne suffisent plus. On compare alors l'ordre des faces autour de chaque sommet et la manière dont les arêtes les raccordent.

Avec l'icosidodécaèdre. Celui-ci n'a que deux types de faces, des triangles et des pentagones. La présence de 30 carrés suffit donc à trancher en faveur du triaconta-icosa-dodécaèdre.

Avec le rhombicosidodécaèdre. Dans la nomenclature usuelle des solides d'Archimède, ce nom désigne le même solide, avec 20 triangles, 30 carrés et 12 pentagones. Il s'agit d'une autre appellation, pas d'un second polyèdre.

Avec un simple assemblage de 62 polygones. Les bons nombres de triangles, de carrés et de pentagones ne garantissent ni une coque convexe ni des sommets équivalents. Ces deux propriétés doivent aussi être contrôlées.

Les totaux ne codent pas tout le solide. Le symptôme du piège est de conclure à partir des seuls nombres 62, 120 et 60. Il faut aussi vérifier quelles faces partagent chaque arête et dans quel ordre elles entourent les sommets.

La division par deux exige une surface fermée. Si une maquette possède un trou ou un bord libre, certaines arêtes ne bordent qu'une face. Il faut repérer ces arêtes avant d'appliquer le double comptage.

Une déformation conserve parfois seulement la combinatoire. Si les faces cessent d'être régulières, un modèle peut garder les mêmes raccordements sans rester un solide d'Archimède au sens métrique. Il faut alors parler de même type combinatoire, pas du même polyèdre uniforme.

Le solide d'Archimède replace cette forme dans la famille des polyèdres convexes à faces régulières et sommets équivalents.

La formule d'Euler explique pourquoi 62 faces et 120 arêtes conduisent ici à 60 sommets.

Le rhombicosidodécaèdre présente l'appellation usuelle du même solide et détaille sa configuration autour d'un sommet.

L'icosidodécaèdre fournit une comparaison directe avec un solide sans faces carrées.