hexaki-icosaèdre

Imaginez une coque fermée entièrement couverte de petits triangles. Sur l’hexaki-icosaèdre, on en compte 120 : ils ont tous la même forme, mais leurs trois côtés n’ont pas la même longueur. Ce sont donc des triangles scalènes congruents.

Cette profusion de faces explique le nom « six fois vingt ». Malgré son aspect très découpé, l’objet reste convexe : aucun creux ne rentre vers l’intérieur. Son inventaire complet tient en trois nombres, 120 faces, 180 arêtes et 62 sommets.

L’hexaki-icosaèdre est un polyèdre convexe formé de 120 faces triangulaires. Toutes ces faces sont congruentes, c’est-à-dire superposables, et chacune est un triangle scalène, dont les trois côtés ont des longueurs différentes. L’ensemble possède 180 arêtes et 62 sommets.

Il appartient aux solides de Catalan, les polyèdres duaux des solides d’Archimède. Son dual est le grand rhombicosidodécaèdre, également nommé icosidodécaèdre tronqué. Dans cette dualité, les 120 faces de l’hexaki-icosaèdre correspondent aux 120 sommets de son dual, tandis que ses 62 sommets correspondent aux 62 faces du dual ; le nombre de 180 arêtes est conservé.

Les formes « hexakis icosaèdre » et « disdyakis triacontaèdre » désignent le même solide. Le préfixe du premier nom rappelle « six fois vingt ». Ce nom ne signifie toutefois pas que le solide s’obtient en coiffant chaque face d’un icosaèdre ou d’un dodécaèdre par une pyramide.

On veut contrôler l’inventaire d’un modèle annoncé comme hexaki-icosaèdre.
Données : 120 faces triangulaires ; 62 sommets ; chaque triangle possède 3 côtés ; chaque arête de la coque appartient à 2 faces.

1. Comptez les incidences entre faces et arêtes : 120 × 3 = 360. Ce total compte chaque arête une fois depuis chacune de ses deux faces.

2. Divisez donc par 2 : 360 ÷ 2 = 180 arêtes. On retrouve le nombre annoncé dans la définition.

3. Pour le contrôle d’Euler, la lettre V désigne le nombre de sommets, E celui des arêtes et F celui des faces. Le calcul complet est :

Le résultat 2 est celui attendu pour un polyèdre convexe. Les deux contrôles sont cohérents, sans suffire à eux seuls à identifier le solide : il faut encore vérifier que les 120 triangles sont scalènes et tous congruents. Un schéma récapitule ce contrôle combinatoire.

Pour identifier un modèle, on commence par compter ses faces, ses arêtes et ses sommets. Le triplet 120, 180 et 62 écarte immédiatement un icosaèdre ou un dodécaèdre, mais le contrôle doit se poursuivre sur la forme des faces.

Pour contrôler un dessin ou une maquette, on examine plusieurs faces : elles doivent être triangulaires, scalènes et congruentes. Si les triangles sont seulement ressemblants ou de tailles différentes, le modèle ne respecte pas la définition.

Pour choisir une représentation, on emploie la vue de l’hexaki-icosaèdre lorsque les 120 faces sont l’objet de l’étude. Une représentation du grand rhombicosidodécaèdre est préférable lorsque l’on veut suivre la structure duale, où faces et sommets échangent leurs rôles.

Avec l’icosaèdre. L’icosaèdre possède 20 faces triangulaires, tandis que l’hexaki-icosaèdre en possède 120, avec 180 arêtes et 62 sommets. Cet inventaire constitue un premier filtre nécessaire, mais il ne suffit pas à lui seul pour identifier le solide.

Avec le grand rhombicosidodécaèdre. Ce dernier est le dual de l’hexaki-icosaèdre, non un autre nom du même objet. Dans le cas qui tranche, une face de l’un correspond à un sommet de l’autre ; leurs 180 arêtes se correspondent.

Avec une simple triangulation. Découper arbitrairement la surface d’un polyèdre en 120 triangles ne produit pas forcément un hexaki-icosaèdre. Il faut aussi obtenir une coque convexe et 120 triangles scalènes tous congruents, avec l’inventaire annoncé.

Le nombre de 120 faces ne suffit pas à reconnaître le solide. Si certaines faces ne sont pas des triangles scalènes ou si deux faces ne sont pas congruentes, le critère de forme échoue même lorsque le comptage total est correct.

Le nom « hexaki-icosaèdre » ne décrit pas un icosaèdre simplement augmenté. Coiffer chacune des 20 faces d’un icosaèdre d’une pyramide donnerait seulement 60 faces latérales et 32 sommets, et non les 120 faces et 62 sommets attendus.

Le contrôle 62 − 180 + 120 = 2 vérifie une cohérence combinatoire attendue pour un polyèdre convexe, mais il n’établit ni la congruence ni le caractère scalène des faces. Il doit rester un contrôle, pas devenir une preuve d’identification.

Enfin, « hexakis icosaèdre » n’introduit pas une variante géométrique : c’est une autre orthographe du même nom. « Disdyakis triacontaèdre » est également un synonyme, tandis que l’icosidodécaèdre tronqué désigne le dual.

polyèdre dual — Pour préciser l’échange entre faces et sommets qui relie l’hexaki-icosaèdre à son dual.

solide d'Archimède — Pour situer la famille dont les duals constituent les solides de Catalan.

icosaèdre — Pour comparer l’hexaki-icosaèdre avec le polyèdre régulier que son nom évoque.

dodécaèdre — Pour découvrir l’autre polyèdre régulier associé à la même symétrie icosaédrique.