GéométrieNotion · Glossaire
dodécaèdre
Un dodécaèdre est un polyèdre possédant exactement 12 faces. Il en existe une très grande variété, classés selon leur nombre de sommets, d'arêtes et la nature de leurs faces. Parmi tous les dodécaèdres, le dodécaèdre régulier occupe une place particulière : ses 12 faces sont des pentagones réguliers congruents, tous ses sommets sont équivalents et il possède 20 sommets et 30 arêtes. C'est l'un des cinq polyèdres réguliers convexes, connus sous le nom de solides de Platon. Sa symétrie est icosaédrique et son dual est l'icosaèdre régulier.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître qu'un dodécaèdre est défini par ses douze faces.
- Distinguer un dodécaèdre quelconque du dodécaèdre régulier.
- Retrouver les 30 arêtes du dodécaèdre régulier par double comptage.
- Relier ses 12 faces et ses 20 sommets à ceux de son dual, l'icosaèdre régulier.
En clair
Prenez un objet fermé formé de surfaces planes et comptez-les : s'il en a exactement douze, c'est un dodécaèdre. Ces faces ne sont pas forcément identiques et leur forme peut varier.
La version régulière est beaucoup plus contrainte. Ses douze faces sont le même pentagone régulier, reproduit à l'identique. Cette organisation très symétrique donne un solide à 20 sommets et 30 arêtes.
Définition
Un dodécaèdre est un polyèdre dont le nombre de faces est exactement 12. Cette seule condition le définit. La forme des faces, le nombre de sommets et le nombre d'arêtes peuvent donc changer d'un dodécaèdre à l'autre.
Le dodécaèdre régulier est un cas particulier. Ses 12 faces sont des pentagones réguliers congruents, c'est-à-dire superposables. Tous ses sommets jouent le même rôle par symétrie. Il compte 20 sommets et 30 arêtes. Il appartient aux cinq solides de Platon, les polyèdres réguliers convexes.
La représentation filaire rend visibles une face pentagonale et l'organisation des arêtes autour des 20 sommets. Le dodécaèdre régulier possède une symétrie icosaédrique. Son dual est l'icosaèdre régulier : le passage au dual échange le rôle des faces et des sommets.
Un exemple, pas à pas
Contrôlons les nombres du dodécaèdre régulier.
Données :
Le solide possède 12 faces.
Chaque face est un pentagone, donc porte 5 côtés.
Chaque arête borde 2 faces.
Le solide possède 20 sommets.
Données :
Le solide possède 12 faces.
Chaque face est un pentagone, donc porte 5 côtés.
Chaque arête borde 2 faces.
Le solide possède 20 sommets.
1. Comptons les côtés face par face : . Ce total compte chaque arête une fois depuis chacune de ses deux faces.
2. Divisons donc ce total par 2. Si la lettre A désigne le nombre d'arêtes, .
3. Effectuons un second contrôle avec la relation d'Euler pour un polyèdre convexe. Si S, A et F désignent les nombres de sommets, d'arêtes et de faces, alors .
Les deux calculs sont cohérents : le dodécaèdre régulier a bien 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets. Le premier calcul retrouve le nombre d'arêtes ; le second vérifie ensemble les trois nombres.
En pratique
Pour identifier un solide, on compte d'abord ses faces sans supposer qu'elles sont identiques. Douze faces suffisent pour parler de dodécaèdre ; avec un autre total, il faut employer le nom correspondant à cet autre polyèdre.
Pour décider si le dodécaèdre est régulier, on examine ensuite la forme de chaque face et l'organisation des sommets. Il faut retrouver douze pentagones réguliers congruents et des sommets tous équivalents ; le seul nombre de faces ne suffit pas.
Pour contrôler un modèle du dodécaèdre régulier, on compte 60 côtés de faces, puis on corrige le double comptage. Cette méthode est préférable au comptage visuel direct des arêtes lorsque certaines sont cachées.
À ne pas confondre
Dodécaèdre et polyèdre. « Polyèdre » est la famille générale ; « dodécaèdre » impose exactement 12 faces. Un icosaèdre régulier est un polyèdre, mais pas un dodécaèdre, car il compte 20 faces.
Dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier. Le premier porte 12 faces pentagonales et 20 sommets ; le second porte 20 faces triangulaires et 12 sommets. Ils sont duaux : leurs faces et leurs sommets se correspondent en échangeant les rôles.
Limites et pièges
Douze faces ne signifient pas « régulier ». Des faces différentes ou des sommets non équivalents signalent un autre dodécaèdre. Il faut alors conserver le nom général et ne pas lui attribuer automatiquement 20 sommets et 30 arêtes.
Un côté de face n'est pas une arête supplémentaire. Sur un polyèdre fermé, une arête est commune à deux faces. Pour le dodécaèdre régulier, le total 12 × 5 = 60 doit donc être divisé par 2, ce qui donne 30 arêtes.
La relation d'Euler exige des hypothèses topologiques appropriées. La convexité du dodécaèdre régulier constitue ici un cas simple où le contrôle 20 − 30 + 12 = 2 s'applique. Pour une forme non convexe ou à structure inhabituelle, il faut d'abord vérifier ces hypothèses avant d'appliquer ce contrôle.
Pour aller plus loin
polyèdre replace le dodécaèdre dans la famille des solides délimités par des faces planes.
solide de Platon situe le dodécaèdre régulier parmi les cinq polyèdres réguliers convexes.
icosaèdre approfondit le polyèdre régulier dual du dodécaèdre et l'échange entre faces et sommets.
Construisez votre cristal Mystérieux propose une construction concrète faisant intervenir la forme du dodécaèdre.
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