GéométrieNotion · Glossaire
icosaèdre
Un icosaèdre est un polyèdre possédant exactement 20 faces. Parmi tous les icosaèdres, l'icosaèdre régulier est le plus remarquable : ses 20 faces sont des triangles équilatéraux congruents. Il possède 12 sommets et 30 arêtes, satisfaisant ainsi la formule d'Euler pour les polyèdres convexes. L'icosaèdre régulier est l'un des cinq solides de Platon, les polyèdres réguliers convexes, et appartient également à la famille des antidiamants. Son polyèdre dual est le dodécaèdre régulier, lui-même solide de Platon.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer un icosaèdre quelconque de l’icosaèdre régulier.
- Relier les 20 faces, les 30 arêtes et les 12 sommets du cas régulier.
- Vérifier ces nombres avec la formule d’Euler.
- Identifier le dodécaèdre régulier comme polyèdre dual.
En clair
Imaginez une coque fermée composée de 20 facettes. Ce seul nombre suffit pour parler d’un icosaèdre, quelle que soit la forme précise des faces.
Dans sa version régulière, la plus symétrique, toutes les facettes sont des triangles équilatéraux identiques. On peut alors compter 12 sommets et 30 arêtes. Cette régularité distingue l’objet général, défini par ses 20 faces, du solide de Platon que l’on représente le plus souvent.
Définition
Un polyèdre qui possède exactement 20 faces est un icosaèdre. Cette définition générale impose le nombre de faces, mais elle n’impose ni des faces triangulaires, ni des faces identiques, ni la régularité.
L’icosaèdre régulier est le cas particulier de référence. Ses 20 faces sont des triangles équilatéraux congruents, c’est-à-dire superposables. Il compte 12 sommets et 30 arêtes. Pour ce polyèdre convexe, notons V le nombre de sommets, E le nombre d’arêtes et F le nombre de faces. La formule d’Euler s’écrit alors . On obtient bien 12 − 30 + 20 = 2.
L’icosaèdre régulier est l’un des cinq solides de Platon et appartient aussi à la famille des antidiamants. Son polyèdre dual est le dodécaèdre régulier : les faces de l’un correspondent aux sommets de l’autre.
Un exemple, pas à pas
On examine un icosaèdre régulier fermé. Les données sont les suivantes : il possède 20 faces triangulaires, chaque triangle a 3 côtés, chaque arête est commune à 2 faces et le solide possède 12 sommets.
1. Les 20 faces fournissent 20 × 3 = 60 côtés de triangles comptés face par face.
2. Chaque arête ayant été comptée sur ses 2 faces voisines, le nombre d’arêtes, noté E, est .
3. On note V le nombre de sommets et F le nombre de faces, puis on contrôle les trois nombres avec la formule d’Euler. La représentation filaire accompagne ce comptage en distinguant les arêtes visibles des arêtes arrière.
Le contrôle donne 2, comme attendu pour ce polyèdre convexe. Il confirme la cohérence des 12 sommets, des 30 arêtes et des 20 faces ; il ne suffit cependant pas, à lui seul, à prouver que le solide est régulier.
En pratique
Pour identifier un icosaèdre, on compte d’abord ses faces. Le critère décisif est d’en trouver exactement 20 ; l’aspect triangulaire n’est requis que pour la version régulière décrite ici.
Pour contrôler un modèle régulier, on relève 20 faces, 30 arêtes et 12 sommets, puis on vérifie 12 − 30 + 20 = 2. Si le modèle n’est pas convexe, ce contrôle ne relève plus du cas annoncé par la définition source.
Pour passer au solide dual, on échange le rôle des faces et des sommets. Le dodécaèdre régulier devient alors l’objet pertinent, tandis que l’icosaèdre reste celui dont les 20 faces sont triangulaires.
À ne pas confondre
Icosaèdre et dodécaèdre. L’icosaèdre régulier a 20 faces et 12 sommets ; son dual, le dodécaèdre régulier, échange ces deux nombres. Un solide présentant 20 faces triangulaires relève donc d’un icosaèdre, mais pas nécessairement d’un icosaèdre régulier ni de son dual.
Icosaèdre et polyèdre régulier. « Polyèdre régulier » désigne une famille dont les solides de Platon sont les cinq membres. Le nombre exact de 20 faces sélectionne l’icosaèdre régulier au sein de cette famille.
Limites et pièges
Vingt faces ne signifie pas régulier. Un polyèdre peut avoir exactement 20 faces sans que celles-ci soient des triangles équilatéraux congruents. Il faut alors le nommer icosaèdre, mais ne pas lui attribuer automatiquement les propriétés de l’icosaèdre régulier.
Les nombres 12 et 30 appartiennent au cas régulier présenté. La définition générale ne les déduit pas du seul seuil de 20 faces. Si la régularité n’est pas établie, il faut recompter les sommets et les arêtes du polyèdre étudié.
Le contrôle d’Euler a ici une hypothèse. L’égalité V − E + F = 2 est invoquée pour les polyèdres convexes. Avant d’utiliser ce contrôle sur une autre forme à 20 faces, il faut donc vérifier qu’elle relève bien de ce cadre.
Pour aller plus loin
Polyèdre. Situez l’icosaèdre dans la famille générale des solides délimités par des faces.
Solide de Platon. Replacez l’icosaèdre régulier parmi les cinq polyèdres réguliers convexes.
Formule d’Euler. Approfondissez le contrôle qui relie faces, arêtes et sommets d’un polyèdre convexe.
Dodécaèdre. Étudiez le solide dual qui échange les 20 faces et les 12 sommets de l’icosaèdre régulier.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres