solide d'Archimède

Imaginez un solide dont chaque face est un polygone régulier, mais dont toutes les faces n'ont pas la même forme. Ses arêtes ont pourtant une longueur commune. En faisant tourner l'objet, chaque sommet présente le même arrangement de faces.

Un solide d'Archimède réunit ces propriétés dans un polyèdre convexe. Il existe treize formes de ce type lorsque les prismes et les antiprismes sont écartés.

Un solide d'Archimède est un polyèdre semi-régulier convexe qui n'est ni un prisme ni un antiprisme. Ses faces sont des polygones réguliers convexes d'au moins deux types. Toutes ses arêtes ont la même longueur. La configuration des faces autour de chaque sommet est identique. Enfin, pour toute paire de sommets, une isométrie du polyèdre envoie l'un sur l'autre. Cette dernière condition exprime que tous les sommets jouent le même rôle géométrique.

La famille comprend le tétraèdre tronqué, le cube tronqué, l'octaèdre tronqué, le cuboctaèdre, le petit rhombicuboctaèdre, le cuboctaèdre tronqué ou grand rhombicuboctaèdre, le cube adouci ou octaèdre adouci, le dodécaèdre tronqué, l'icosaèdre tronqué, l'icosidodécaèdre, le petit rhombicosidodécaèdre, l'icosidodécaèdre tronqué ou grand rhombicosidodécaèdre, et le dodécaèdre adouci.

Les polyèdres étoilés qui satisfont les conditions d'uniformité appartiennent à la famille plus vaste des polyèdres uniformes ; une structure étoilée seule ne suffit pas. Cette famille comprend aussi les prismes et antiprismes étoilés uniformes, les étoiles de Kepler-Poinsot et les polyèdres uniformes de Badoureau-Coxeter.

La structure repose sur cinq éléments liés. Les faces sont des polygones réguliers convexes appartenant à au moins deux types. Les arêtes, toutes de même longueur, raccordent ces faces. Les sommets sont les points où les faces se rencontrent. La configuration d'un sommet indique l'arrangement des types de faces qui l'entourent ; elle doit se répéter à chaque sommet. Les isométries relient les sommets entre eux et garantissent leur équivalence géométrique.

La couleur, l'orientation et l'échelle d'un dessin ne définissent donc pas le solide. Ce sont la forme des faces, leurs raccordements, l'égalité des arêtes et les symétries entre sommets qui permettent de tester son appartenance à la famille.

On veut déterminer si un cuboctaèdre cité dans la liste appartient bien à la famille. Les données à examiner sont sa convexité, les types de ses faces, la longueur de ses arêtes, la configuration de chaque sommet et ses isométries.

1. Le cuboctaèdre est convexe et possède huit triangles équilatéraux et six carrés : ses faces sont donc des polygones réguliers convexes de deux types.
2. Chaque arête est le côté commun d'un triangle et d'un carré ; triangles et carrés ont ici le même côté, donc toutes les arêtes ont une longueur commune.
3. Autour de chaque sommet, on relève dans l'ordre un triangle, un carré, un triangle et un carré : la configuration ne change pas.
4. On peut construire ses sommets comme les milieux des arêtes d'un cube. Les isométries du cube permutent ces arêtes et permettent d'envoyer chacun de leurs milieux, donc chaque sommet du cuboctaèdre, sur tout autre.

Ces contrôles sont satisfaits pour le cuboctaèdre, qui figure parmi les treize solides d'Archimède. Le contrôle est refaisable : l'échec d'une seule condition empêcherait de conclure à partir de cette définition.

Pour classer un polyèdre convexe, on commence par observer ses faces. Si elles sont toutes du même type, il faut plutôt examiner la piste des solides de Platon ; s'il en existe au moins deux types, le test archimédien peut continuer.

On compare ensuite les arêtes et les voisinages des sommets. Une longueur qui varie ou une configuration de faces qui change d'un sommet à l'autre suffit à écarter la classification.

Si le polyèdre est étoilé, la famille des solides d'Archimède n'est plus le cadre adapté. Lorsqu'il satisfait aussi les conditions d'uniformité, la famille plus vaste des polyèdres uniformes fournit alors la comparaison pertinente.

Avec un solide de Platon. Ses faces sont toutes du même type, tandis qu'un solide d'Archimède en possède au moins deux. Un polyèdre convexe composé d'un seul type de face régulière n'est donc pas un solide d'Archimède ; il ne relève de la famille des solides de Platon que si ses sommets satisfont aussi les conditions de régularité propres à cette famille.

Avec un prisme ou un antiprisme. Même lorsqu'ils satisfont des propriétés de semi-régularité, les prismes et les antiprismes sont explicitement exclus des treize solides d'Archimède. L'identification de l'une de ces deux familles tranche la classification.

Avec un polyèdre uniforme étoilé. Une structure étoilée ne suffit pas à placer l'objet dans la famille uniforme plus vaste : il doit aussi en satisfaire les conditions d'uniformité. Les étoiles de Kepler-Poinsot en font partie, mais ne sont pas des solides d'Archimède convexes.

Treize ou quinze ? La liste usuelle comporte treize solides. Le cube adouci et le dodécaèdre adouci ne sont toutefois pas superposables à leur image dans un miroir. Lorsque chaque forme et son image sont comptées séparément, le total annoncé devient quinze ; il faut donc toujours préciser la convention de comptage.

Mêmes faces, mauvaise conclusion. Reconnaître plusieurs types de polygones réguliers ne suffit pas. Si les arêtes n'ont pas toutes la même longueur, si les configurations de sommets diffèrent ou si les sommets ne sont pas reliés par les isométries requises, il faut abandonner l'étiquette archimédienne.

Convexité oubliée. Une forme étoilée peut rappeler certains critères de régularité, mais elle sort du domaine convexe de la définition. Elle ne relève de la famille plus large des polyèdres uniformes que si elle en respecte effectivement les critères ; dans tous les cas, il ne faut pas l'ajouter aux treize.

Le glossaire polyèdre fixe le vocabulaire des faces, arêtes et sommets employé pour décrire toute la famille.

La fiche solide de Platon approfondit le cas régulier exclu ici parce que toutes les faces y sont du même type.

La notion de polyèdre uniforme ouvre le cadre plus vaste qui accueille notamment les formes étoilées citées dans la définition.