polyèdre uniforme

Imaginez que vous observiez un polyèdre en vous plaçant successivement à chacun de ses sommets. Si une symétrie de l’objet permet toujours de retrouver exactement la même situation, les sommets sont superposables. Ajoutez une autre exigence : chaque face doit être un polygone régulier. Vous obtenez l’idée d’un polyèdre uniforme.

Cette uniformité n’impose pas une forme convexe. Les faces peuvent elles-mêmes être convexes ou étoilées, tandis que le polyèdre peut être régulier, semi-régulier ou semi-régulier de deuxième espèce.

Un polyèdre uniforme réunit deux conditions. Toutes ses faces sont des polygones réguliers, convexes ou étoilés. De plus, ses sommets sont superposables : pour deux sommets quelconques, il existe une isométrie du polyèdre qui transforme l’un en l’autre. Cette propriété porte sur l’objet entier, pas seulement sur la ressemblance locale de quelques faces.

Tout polyèdre uniforme est inscrit dans une sphère. Il peut être convexe ou non, et relever des classes régulière, semi-régulière ou semi-régulière de deuxième espèce. Les prismes et les antiprismes constituent deux familles infinies. En dehors d’elles, la famille compte 75 polyèdres : 5 solides de Platon, 4 solides de Kepler-Poinsot, 13 solides d’Archimède, 14 polyèdres non convexes à faces convexes et 39 polyèdres non convexes à faces non convexes.

Ces 75 polyèdres se répartissent aussi d’après leur groupe de symétrie : 4 ont la symétrie tétraédrale, 17 la symétrie octaédrale et 54 la symétrie icosaédrale.

La structure repose sur quatre éléments liés. Les faces doivent être des polygones réguliers, qu’ils soient convexes ou étoilés. Les sommets doivent former un seul ensemble de positions équivalentes. Une isométrie de l’objet assure cette équivalence en envoyant n’importe quel sommet sur n’importe quel autre. Enfin, le groupe de symétrie rassemble les transformations qui conservent le polyèdre.

La régularité des faces ne suffit donc pas sans la superposabilité des sommets. Réciproquement, l’équivalence des sommets ne dispense pas de vérifier chaque face. Ces deux conditions définissent l’uniformité ; l’orientation ou la taille d’un modèle ne la changent pas, pas plus que sa couleur lorsqu’elle est ignorée dans le modèle mathématique.

L’inscription dans une sphère signifie que tous les sommets appartiennent à une même sphère. Le diagramme de classification rend ensuite visible la répartition des 75 polyèdres isolés entre les trois groupes de symétrie.

Contrôlons les deux décompositions annoncées pour les 75 polyèdres situés hors des familles infinies de prismes et d’antiprismes. Les données par type sont 5 solides de Platon, 4 solides de Kepler-Poinsot, 13 solides d’Archimède, 14 non convexes à faces convexes et 39 non convexes à faces non convexes. Les données par symétrie sont 4 tétraédraux, 17 octaédraux et 54 icosaédraux.

1. Additionnons les trois premières catégories : 5 + 4 + 13 = 22.
2. Ajoutons les 14 polyèdres non convexes à faces convexes : 22 + 14 = 36.
3. Ajoutons les 39 derniers : 36 + 39 = 75.
4. Vérifions par les symétries : 4 + 17 + 54 = 75.

Les deux classements donnent donc le même total exact de 75. Ce contrôle ne compte ni les prismes ni les antiprismes, puisque chacun de ces ensembles forme une famille infinie.

Devant un modèle de polyèdre, commencez par examiner les faces. Si l’une d’elles n’est pas un polygone régulier, le modèle n’est pas uniforme et il faut employer une catégorie plus générale de polyèdre.

Si les faces passent ce premier test, cherchez une isométrie qui puisse envoyer chaque sommet sur n’importe quel autre. L’échec de cette superposition exclut encore l’uniformité, même lorsque toutes les faces sont régulières.

Pour classer un cas reconnu, déterminez ensuite s’il appartient aux prismes, aux antiprismes ou aux 75 autres polyèdres. Dans ce dernier ensemble, le groupe de symétrie fournit un second classement : tétraédral, octaédral ou icosaédral.

Uniforme et régulier. « Uniforme » n’est pas synonyme de « régulier ». Le critère uniforme exige des faces régulières et des sommets superposables, mais la famille comprend aussi des polyèdres semi-réguliers et semi-réguliers de deuxième espèce. L’étiquette semi-régulière qualifie ainsi certains polyèdres uniformes, mais ne remplace pas la vérification de ces deux critères.

Uniforme et convexe. La convexité n’est pas le test de l’uniformité. Un polyèdre uniforme peut être convexe ou non. La présence, parmi les 75, de 14 cas non convexes à faces convexes montre que la convexité des faces ne suffit pas à conclure sur celle du polyèdre.

Face régulière et polyèdre uniforme. Une collection de faces régulières ne suffit pas. Il faut encore vérifier qu’une isométrie du polyèdre peut transformer n’importe quel sommet en n’importe quel autre ; sans cette propriété globale, le polyèdre n’est pas uniforme.

Face étoilée. « Polygone régulier » ne signifie pas ici « forcément convexe ». Une face régulière étoilée est admise. Rejeter automatiquement un candidat à cause de faces étoilées ferait donc disparaître des cas prévus par la définition.

Non-convexité à deux niveaux. Le polyèdre et ses faces ne portent pas la même propriété. Parmi les 75 cas isolés, 14 sont non convexes avec des faces convexes, tandis que 39 sont non convexes avec des faces non convexes. Il faut examiner séparément l’objet et ses faces.

Total de 75. Ce nombre ne désigne pas toute la famille des polyèdres uniformes. Il exclut les prismes et les antiprismes, qui forment deux familles infinies. Une énumération finie doit annoncer explicitement cette exclusion.

Superposabilité locale. Voir le même nombre de faces autour de plusieurs sommets ne suffit pas à établir la condition. La définition demande une isométrie du polyèdre entier transformant tout sommet choisi en tout autre. C’est cette transformation globale qu’il faut vérifier.

Le glossaire polyèdre replace l’uniformité dans la notion géométrique plus générale à laquelle elle ajoute ses conditions sur les faces et les sommets.

La fiche solide de Platon approfondit la sous-famille régulière qui fournit 5 des 75 polyèdres isolés.

La fiche solide d’Archimède détaille une autre sous-famille, composée de 13 des 75 polyèdres isolés.