heptaèdre de Reinhardt

Imaginez six sommets reliés par douze arêtes. On peut y suivre quatre contours triangulaires et trois contours carrés, soit sept faces au total. Mais les trois carrés ne forment pas la peau d'un solide convexe : ils traversent l'objet et se croisent deux à deux. C'est cette organisation inhabituelle qui donne à l'heptaèdre de Reinhardt son aspect étoilé.

Les noms « tétrahémihexaèdre » et « hémicuboctaèdre » désignent le même polyèdre. Son intérêt tient autant au dessin de ses faces qu'à leur manière de se raccorder.

L'heptaèdre de Reinhardt, ou tétrahémihexaèdre, est un polyèdre étoilé, non convexe et semi-régulier. Le nom « hémicuboctaèdre » est un autre synonyme. Il appartient aux polyèdres de Badoureau, c'est-à-dire aux polyèdres étoilés semi-réguliers non convexes lorsque l'on écarte les prismes et les antiprismes.

Sa structure compte exactement 6 sommets, 12 arêtes et 7 faces : 4 triangles équilatéraux et 3 carrés. Les faces carrées ne sont pas disposées comme les faces d'un polyèdre convexe. Elles passent à travers le polyèdre et se croisent deux à deux. La représentation par cycles de faces rend visibles ces sept faces sans transformer leurs croisements intérieurs en nouveaux sommets.

Avec un nombre impair de faces, le tétrahémihexaèdre constitue le seul polyèdre semi-régulier connu présentant cette particularité. Du point de vue topologique, sa surface a la structure d'un plan projectif réel. Cette propriété relie son étude géométrique à la géométrie combinatoire et à la topologie.

Vérifions les nombres annoncés à partir des faces. Les données sont les suivantes : 4 faces triangulaires, 3 faces carrées, 3 côtés par triangle, 4 côtés par carré et 6 sommets. Chaque arête appartient au bord de deux faces.

1. Les triangles fournissent 4 × 3 = 12 incidences entre une face et une arête.

2. Les carrés fournissent 3 × 4 = 12 incidences supplémentaires.

3. Le total est donc 12 + 12 = 24 incidences. Comme chaque arête est comptée deux fois, le nombre d'arêtes est 24 ÷ 2 = 12.

4. Le contrôle topologique donne 6 − 12 + 7 = 1. Cette valeur est cohérente avec la topologie du plan projectif réel. Les croisements intérieurs des carrés ne sont pas ajoutés aux six sommets de la structure.

Pour reconnaître l'objet dans une représentation, on compte d'abord six sommets et sept faces. La présence de quatre triangles et de trois carrés traversants permet de préférer l'identification « heptaèdre de Reinhardt » à celle d'un heptaèdre quelconque.

Pour contrôler sa structure combinatoire, on compte les côtés de toutes les faces, puis on divise ce total par deux. Ce geste est préférable à un simple comptage visuel des segments lorsque les faces se croisent.

Pour étudier sa surface, on calcule 6 − 12 + 7. Le résultat 1 est la caractéristique d'Euler du plan projectif réel ; il écarte donc la lecture comme surface d'un polyèdre convexe, pour laquelle ce contrôle donnerait 2. Ce nombre est un indice topologique, pas une preuve isolée : l'identification suppose aussi de vérifier le raccordement des faces par leurs cycles d'arêtes.

Un heptaèdre quelconque. Le mot « heptaèdre » indique seulement qu'un polyèdre possède sept faces. L'heptaèdre de Reinhardt se reconnaît plus précisément à ses 4 triangles équilatéraux, ses 3 carrés traversants, ses 6 sommets et ses 12 arêtes.

Un polyèdre convexe. Dans un polyèdre convexe, les faces forment une frontière sans passer à travers l'objet. Ici, les trois faces carrées se croisent deux à deux ; ce critère visible impose une lecture de polyèdre étoilé non convexe.

Prendre un croisement pour un sommet. Le dessin peut montrer des faces carrées qui se coupent à l'intérieur du polyèdre. Ces intersections géométriques ne s'ajoutent pas aux 6 sommets de la structure ; les compter ferait perdre les valeurs 6, 12 et 7.

Traiter les carrés comme une enveloppe convexe. Les trois carrés sont bien des faces, mais ils traversent le polyèdre et se croisent deux à deux. Il faut donc conserver leur contour complet au lieu de les découper visuellement aux intersections.

Attendre la valeur 2 dans le contrôle sommets-arêtes-faces. Le calcul donne 6 − 12 + 7 = 1, et non 2. Ce résultat n'est pas une erreur de comptage : il correspond à la topologie du plan projectif réel.

La structure d'incidence offre un prolongement naturel : décrire chaque face par le cycle de ses arêtes fournit un test précis. Chaque arête doit apparaître dans exactement deux cycles, une fois pour une face triangulaire et une fois pour une face carrée ; cette double présence donne une surface sans bord, et les cycles doivent relier toutes les faces en une seule composante. Ils conservent les 6 sommets déclarés même lorsque les carrés se croisent dans la réalisation géométrique. Pour la surface fermée et connexe ainsi obtenue, le contrôle 6 − 12 + 7 = 1 donne la caractéristique d'Euler du plan projectif réel. La valeur 1 ne suffit pas à elle seule : il faut aussi réussir le test des cycles et de leur raccordement complet. On distingue ainsi la réalisation étoilée, avec ses croisements visibles, de la structure topologique qu'elle porte.