dotriconta-hexaèdre

Posez devant vous 32 triangles équilatéraux et 6 carrés. Le nom dotriconta-hexaèdre sert d'abord à annoncer cet inventaire : deux sortes de faces régulières et 38 faces en tout.

Le dessin des faces permet de reconnaître la composition du solide. Il ne suffit toutefois pas à montrer comment elles se raccordent : pour identifier complètement un polyèdre, il faut aussi observer les arêtes et l'organisation autour des sommets.

Le dotriconta-hexaèdre est décrit par un inventaire de faces : 32 triangles équilatéraux et 6 carrés, donc 38 polygones réguliers de deux natures. Le premier élément de son nom renvoie aux trente-deux triangles ; « hexaèdre » signale ici les six carrés. Il ne faut donc pas lire ce dernier mot comme l'annonce de seulement six faces au total.

Dans une réalisation convexe fermée où deux faces se rencontrent le long de chaque arête, les 32 triangles fournissent 96 côtés de faces et les 6 carrés en fournissent 24. Chaque arête étant comptée sur deux faces, le solide possède alors 60 arêtes. La relation d'Euler pour un polyèdre convexe donne ensuite 24 sommets. Ces deux nombres découlent du comptage et des hypothèses annoncées ; ils ne sont pas une conséquence du seul nombre 38.

L'expression semi-régulier ou apparenté demande de la prudence. Le fait d'avoir plusieurs sortes de faces régulières rapproche le solide de cette famille, mais certaines définitions de « semi-régulier » exigent aussi des arêtes de même longueur et une même disposition des faces à chaque sommet. L'inventaire des faces, à lui seul, ne vérifie pas ces conditions supplémentaires.

Considérons la réalisation convexe fermée du dotriconta-hexaèdre. Les données sont les suivantes : 32 faces triangulaires, 6 faces carrées, deux faces par arête et 38 faces au total.

1. Le nombre d'incidences entre une face et l'un de ses côtés vaut 32 × 3 + 6 × 4 = 120.

2. Chaque arête appartient à deux faces. Le nombre d'arêtes, noté A, est donc $A=\frac{120}{2}=60A=\backslash frac\{120\}\{2\}=60$.

3. Le nombre de sommets est noté S et le nombre de faces F. La relation d'Euler s'écrit $S-A+F=2S-A+F=2$. Avec A = 60 et F = 38, on obtient S = 24.

Le résultat est donc 60 arêtes et 24 sommets sous les hypothèses posées. Le contrôle est refaisable directement : 24 − 60 + 38 = 2.

Pour examiner un modèle, séparez d'abord les faces selon leur forme et comptez-les. Le bilan 32 triangles équilatéraux et 6 carrés correspond à la description du dotriconta-hexaèdre ; un total différent impose de chercher un autre polyèdre.

Pour contrôler une notice, vérifiez ensuite que le total annoncé est bien 38. Si la notice classe le solide comme semi-régulier, observez aussi la longueur des arêtes et l'agencement des faces aux sommets, car la seule présence de polygones réguliers ne suffit pas toujours.

Pour préparer un patron ou une maquette, l'inventaire indique combien de pièces découper, mais pas comment les assembler. Il faut alors employer un patron qui fournit les voisinages entre faces plutôt que déduire les raccords du seul comptage.

Dotriconta-hexaèdre et hexaèdre. Un hexaèdre possède six faces au total. Dans le nom étudié ici, la partie « hexaèdre » renvoie aux 6 faces carrées, tandis que les 32 triangles portent le total à 38. Le comptage des triangles tranche immédiatement.

Faces régulières et polyèdre régulier. Un polyèdre régulier emploie une seule sorte de face régulière. Le dotriconta-hexaèdre en combine deux, des triangles et des carrés : l'observation des formes de faces suffit donc à écarter cette qualification.

Un inventaire ne donne pas tous les raccords. Deux descriptions peuvent annoncer 32 triangles et 6 carrés sans préciser quels côtés sont voisins. Le symptôme est l'impossibilité de reconstruire un patron unique ; il faut fournir l'adjacence des faces ou la disposition autour des sommets.

Le calcul de 60 arêtes a une hypothèse. Il suppose un polyèdre fermé sans bord, avec exactement deux faces le long de chaque arête. Un assemblage ouvert laisse certains côtés sans partenaire ; il faut alors compter séparément les côtés de bord au lieu de diviser automatiquement 120 par 2.

Le calcul de 24 sommets a aussi une hypothèse. La relation d'Euler utilisée vaut ici pour une réalisation convexe. Si l'objet est troué, non connexe ou auto-intersectant, le contrôle 24 − 60 + 38 = 2 n'établit plus le nombre de sommets ; il faut d'abord déterminer sa topologie.

« Semi-régulier » dépend de la définition adoptée. Des faces régulières de deux sortes constituent un premier indice, pas toujours une preuve. Il faut annoncer la convention et vérifier les contraintes qu'elle ajoute, notamment l'égalité des arêtes et l'uniformité des sommets.

La fiche cube adouci permet de comparer cette dénomination à celle d'un solide dont l'inventaire de faces est particulièrement proche.

La fiche polyèdre replace faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général nécessaire pour décrire un solide.

La fiche polyèdre semi-régulier précise les conditions qui s'ajoutent à la présence de plusieurs sortes de polygones réguliers.

La fiche formule d'Euler approfondit le contrôle reliant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe.