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cube adouci
Le cube adouci est un solide d'Archimède convexe formé de 6 carrés et 32 triangles équilatéraux, avec un carré et quatre triangles autour de chacun de ses 24 sommets. On peut l'imaginer en écartant les faces d'un cube puis en comblant les intervalles par des triangles ; il est chiral, car ses deux orientations, images l'une de l'autre dans un miroir, ne se superposent par aucune rotation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Compter les 6 carrés, 32 triangles, 60 arêtes et 24 sommets du cube adouci.
- Vérifier les comptages par les incidences et la relation d'Euler.
- Calculer l'aire totale d'un modèle d'arête unitaire.
- Distinguer les deux formes énantiomorphes et les rotations des réflexions.
En clair
Imaginez les six faces carrées d'un cube légèrement écartées et tournées. Des triangles équilatéraux viennent alors combler tous les espaces entre elles. On obtient une forme fermée hérissée de triangles : le cube adouci.
Il compte 6 carrés et 32 triangles. Surtout, il possède une orientation, comme une main droite ou une main gauche. Ses deux versions se correspondent dans un miroir, mais aucune rotation ne permet de les superposer.
Définition
Le cube adouci, aussi nommé cube camus ou snub cube, est un polyèdre semi-régulier de la famille des solides d'Archimède. Ses faces sont des polygones réguliers de deux sortes : 6 carrés et 32 triangles équilatéraux. Elles se rejoignent en 60 arêtes et 24 sommets. À chaque sommet aboutissent cinq arêtes ; on dit que le sommet est de degré 5.
La construction s'interprète en écartant les six faces carrées d'un cube, puis en remplissant de triangles équilatéraux les intervalles créés. Autour de chacun des 24 sommets du solide obtenu se rencontrent un carré et quatre triangles. Cette disposition relie les nombres de faces, d'arêtes et de sommets.
Le cube adouci est chiral : il existe sous deux formes énantiomorphes, images l'une de l'autre dans un miroir, qu'une rotation ne superpose pas. Il n'a donc aucun plan de symétrie ni isométrie négative. Ses rotations sont celles du cube : trois axes joignent les centres de carrés opposés, quatre joignent les centres de triangles opposés et six joignent les milieux d'arêtes opposées.
De quoi c'est fait
Le solide réunit quatre données nécessaires : 6 faces carrées, 32 faces triangulaires équilatérales, 60 arêtes et 24 sommets. Tous les côtés des faces ont une même longueur. Un carré et quatre triangles se rencontrent à chaque sommet, si bien que cinq arêtes y aboutissent. Le schéma déplie ce voisinage local ; l'ouverture de 30° rappelle que ces faces ne restent pas dans un même plan lorsqu'elles forment le polyèdre.
Les faces déterminent les incidences : les carrés apportent 24 côtés et les triangles 96, soit 120 côtés de faces. Chaque arête étant partagée par deux faces, on retrouve 60 arêtes. L'échelle ou l'orientation spatiale ne change pas cette structure. En revanche, le sens d'assemblage distingue les deux formes chirales.
Un exemple, pas à pas
Prenons un cube adouci dont chaque arête mesure une unité. Nous allons vérifier ses nombres structuraux et calculer l'aire totale de ses faces.
Données.
6 carrés de côté 1.
32 triangles équilatéraux de côté 1.
60 arêtes et 24 sommets.
6 carrés de côté 1.
32 triangles équilatéraux de côté 1.
60 arêtes et 24 sommets.
Étape 1. Les carrés ont ensemble une aire égale à 6. Un triangle équilatéral de côté 1 a pour aire √3/4 ; les 32 triangles ont donc une aire totale égale à 8√3.
Étape 2. L'aire totale, notée A, est donc :
Contrôle. La relation d'Euler pour un polyèdre convexe donne sommets − arêtes + faces : 24 − 60 + 38 = 2. Le comptage des côtés donne aussi (6 × 4 + 32 × 3) / 2 = 60 arêtes. Les deux vérifications concordent avec la structure annoncée.
En pratique
Pour identifier un modèle, comptez d'abord les types de faces autour d'un sommet. Un carré accompagné de quatre triangles, avec la même disposition aux 24 sommets, oriente vers le cube adouci. Le simple aspect arrondi d'un objet ne suffit pas.
Pour contrôler une maquette, comptez les côtés de toutes les faces puis divisez par deux, car chaque arête appartient à deux faces. Ici, 6 × 4 + 32 × 3 donne 120 incidences, donc 60 arêtes. Ce test repère une face oubliée ou une jonction incorrecte.
Pour distinguer les deux versions, fixez l'ordre des faces autour des sommets et observez son sens sur tout le solide. Un miroir inverse ce sens ; une rotation le conserve. Cette méthode est préférable à l'observation d'une seule projection, qui peut masquer la chiralité.
À ne pas confondre
Cube adouci et cube aux arêtes arrondies. Le premier est un polyèdre aux faces planes : exactement 6 carrés et 32 triangles équilatéraux. Un cube arrondi au sens courant possède des surfaces courbes et ne satisfait pas ce comptage.
Adoucissement et troncature. Tronquer un cube revient à couper ses sommets. Pour obtenir le cube adouci, les faces carrées sont écartées et les intervalles sont remplis de triangles. Le geste de construction et les faces obtenues permettent donc de trancher.
Symétrie miroir et symétrie par rotation. Une forme miroir du cube adouci existe bien, mais elle n'est pas superposable à l'original par rotation. Le solide conserve des axes de rotation sans posséder de plan de symétrie.
Limites et pièges
Le mot « adouci » ne décrit pas une courbure. Si les faces ou les arêtes deviennent courbes, l'objet n'est plus le polyèdre défini ici. Il faut vérifier la présence de carrés et de triangles équilatéraux plans.
Un dessin en perspective peut cacher la chiralité. Deux vues peuvent sembler identiques alors qu'elles montrent des formes énantiomorphes. Il faut suivre le même ordre de faces autour de plusieurs sommets ; une rotation conserve cet ordre, un miroir l'inverse.
L'absence de plan de symétrie ne signifie pas absence de symétrie. Le cube adouci possède 3, 4 et 6 axes des trois types décrits dans la définition. Il faut donc préciser si l'on cherche une réflexion ou une rotation.
Le voisinage aplati ne constitue pas un patron complet. Autour d'un sommet, 90° + 4 × 60° = 330° : il reste un angle de 30°. Cette ouverture est nécessaire au repliement local, mais elle ne suffit pas à fixer seule l'assemblage de toutes les faces.
Pour aller plus loin
Le glossaire polyèdre précise le vocabulaire des faces, arêtes et sommets utilisé pour vérifier la relation 24 − 60 + 38 = 2.
La fiche solide d'Archimède replace le cube adouci dans sa famille et permet de comparer son assemblage de polygones réguliers à ceux des autres solides.
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