hexacontaèdre pentagonal

Imaginez un solide fermé habillé de 60 tuiles pentagonales identiques. Ces tuiles ne sont pas des pentagones réguliers : elles ont deux longueurs de côté et une silhouette symétrique selon un axe. Assemblées, elles forment l'hexacontaèdre pentagonal.

Le solide a aussi une propriété comparable à celle d'une main : sa version miroir existe, mais aucune rotation ne permet de la superposer à l'originale. Les deux formes sont dites énantiomorphes.

L'hexacontaèdre pentagonal est un polyèdre convexe de la famille des solides de Catalan. Il possède 60 faces pentagonales congruentes, c'est-à-dire de même forme et de même taille, mais non régulières. Son nombre d'arêtes est 150 et son nombre de sommets est 92. Chaque face a un axe de symétrie, deux côtés d'une première longueur et trois d'une seconde longueur.

Un solide de Catalan est le dual d'un solide d'Archimède : les faces de l'un correspondent aux sommets de l'autre, et leurs arêtes se répondent. Ici, le dual est le dodécaèdre adouci. Cette dualité explique notamment les 60 faces : elles correspondent aux 60 sommets du dodécaèdre adouci.

Ce polyèdre est chiral : une forme et son image dans un miroir ne sont pas superposables par rotation. Il existe donc une forme dextrogyre et une forme lévogyre. Avec un seul autre solide de Catalan, il constitue le couple des deux seuls solides de cette famille qui soient chiraux. La source attribue aux faces quatre angles d'environ 108°08′ et un angle d'environ 67°28′ ; ces mesures appellent toutefois le contrôle exposé dans les cas limites.

On veut retrouver le nombre d'arêtes et vérifier le nombre de sommets à partir de la surface du solide. Les données sont les suivantes : 60 faces, 5 côtés par face, et chaque arête commune à exactement 2 faces.

1. Comptez les incidences entre une face et l'un de ses côtés : 60 × 5 = 300.

2. Chaque arête ayant été comptée sur chacune de ses deux faces, divisez par 2 : 300 ÷ 2 = 150 arêtes. Ce double comptage est représenté par la figure.

3. Pour un polyèdre convexe, la relation d'Euler donne sommets − arêtes + faces = 2. Le nombre de sommets vaut donc 2 + 150 − 60 = 92.

Le contrôle est refaisable dans l'autre sens : 92 − 150 + 60 = 2. Les nombres 60, 150 et 92 sont ainsi cohérents avec une surface polyédrique convexe.

Devant un modèle, commencez par compter ou identifier des faces à cinq côtés. Si elles sont toutes congruentes mais non régulières et si le total atteint 60, l'hexacontaèdre pentagonal devient un candidat ; un solide à pentagones réguliers doit être écarté.

Pour contrôler une fiche technique ou un patron, utilisez d'abord le double comptage des côtés. Les 60 pentagones doivent conduire à 150 arêtes. Si ce total échoue, préférez l'hypothèse d'une face manquante ou d'un assemblage qui n'est pas celui du solide.

Pour comparer deux modèles, repérez l'ordre des faces autour des sommets. Si l'ordre est inversé comme dans un miroir et qu'aucune rotation ne rétablit la correspondance, les modèles représentent les deux formes énantiomorphes.

Avec un polyèdre à faces pentagonales régulières. Les 60 faces de l'hexacontaèdre pentagonal sont égales, mais chacune possède deux longueurs de côté. Une face dont les cinq côtés ont la même longueur tranche donc la comparaison.

Avec le dodécaèdre adouci. Les deux solides sont duaux, pas identiques. Le dodécaèdre adouci fournit un sommet là où l'hexacontaèdre pentagonal fournit une face ; un modèle à 60 faces pentagonales est le second.

Avec deux orientations d'un même exemplaire. Deux positions obtenues par rotation sont superposables et représentent la même forme. Les variantes dextrogyre et lévogyre ne se correspondent qu'après une réflexion, comme un objet et son image dans un miroir.

Mesures angulaires incohérentes dans la source. Les valeurs annoncées donnent 4 × 108°08′ + 67°28′ = 500°. Or la somme des angles intérieurs d'un pentagone plan vaut 540°. Le symptôme est donc un déficit de 40° ; ces valeurs ne doivent pas servir à construire une face sans correction préalable.

Des nombres cohérents ne suffisent pas à identifier le solide. L'égalité 92 − 150 + 60 = 2 contrôle la combinatoire d'une surface convexe, mais ne prouve ni la congruence des faces ni leur agencement. Il faut aussi vérifier la forme des pentagones et les voisinages de sommets.

La symétrie des faces n'annule pas la chiralité du solide. Chaque pentagone peut avoir un axe de symétrie tandis que l'assemblage complet reste non superposable à son miroir. Pour décider, il faut examiner l'organisation tridimensionnelle des faces, pas une face isolée.

Le dodécaèdre adouci permet d'examiner le solide d'Archimède dont chaque sommet devient une face du dual.

La chiralité précise pourquoi les formes dextrogyre et lévogyre ne sont pas superposables par rotation.

La notion de polyèdre replace faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général des solides.

La formule d'Euler fournit le contrôle qui relie les 60 faces, les 150 arêtes et les 92 sommets.