polyèdre de Catalan

Imaginez un polyèdre dont toutes les faces jouent exactement le même rôle : aucune ne peut être distinguée des autres par la forme globale. Un mouvement rigide qui conserve le solide peut envoyer n'importe quelle face sur n'importe quelle autre. Les polyèdres de Catalan possèdent tous cette symétrie des faces ; les treize types sont spécifiquement les duaux des treize polyèdres archimédiens.

On en obtient treize en prenant les duaux des treize polyèdres archimédiens : les faces et les sommets échangent alors leurs rôles. Deux membres de la famille ont chacun deux formes miroir non superposables, ce qui explique le décompte parfois porté à quinze.

Un polyèdre de Catalan est l'un des treize polyèdres convexes obtenus comme duaux des treize polyèdres archimédiens. Dans un dual, chaque face du polyèdre initial correspond à un sommet du dual, chaque sommet initial correspond à une face, et chaque arête correspond à une arête. Comme les sommets d'un polyèdre archimédien sont équivalents par symétrie, les faces du dual le sont aussi : le groupe d'isométries agit transitivement sur elles. Ces faces sont congruentes, mais elles ne sont généralement pas des polygones réguliers.

La famille comprend le triaki-tétraèdre, le triaki-octaèdre, le tétraki-hexaèdre, le dodécaèdre rhombique, l'icositétraèdre trapézoïdal, l'hexaki-octaèdre, l'icositétraèdre pentagonal, le triaki-icosaèdre, le pentaki-dodécaèdre, le triacontaèdre rhombique, l'hexacontaèdre trapézoïdal, l'hexaki-icosaèdre et l'hexacontaèdre pentagonal.

On rencontre aussi les synonymes tritétraèdre, tétraèdre trigonal ou tétraèdre à toits pour le triaki-tétraèdre ; trioctaèdre ou octaèdre à toits pour le triaki-octaèdre ; dodécaèdre rhomboïdal, rhombododécaèdre ou granatoèdre pour le dodécaèdre rhombique ; icositétraèdre deltoïdal ou tétragonal pour l'icositétraèdre trapézoïdal. La classe plus large des polyèdres semi-réguliers de deuxième espèce contient aussi les diamants et les antidiamants.

Trois éléments portent la structure : les faces, les arêtes et les sommets. Les faces congruentes sont l'unité répétée ; les arêtes les assemblent deux à deux ; les sommets enregistrent la manière dont plusieurs faces se rejoignent. Le groupe d'isométries conserve toutes ces incidences et peut transporter toute face sur une autre. La transitivité concerne donc les faces, sans imposer que tous les sommets soient équivalents.

La dualité relie ces éléments à ceux du polyèdre archimédien de départ : chaque face initiale correspond à un sommet du dual, chaque sommet initial à une face, et chaque arête à une arête. Cette correspondance suffit à organiser la construction combinatoire. L'échelle, la couleur et l'orientation d'un modèle ne changent pas la famille obtenue. En revanche, pour les deux membres chiraux cités dans la source, une réflexion produit une forme miroir qui ne peut pas être superposée à l'originale par un déplacement rigide.

Partons de la liste des 13 polyèdres de Catalan. Deux données sont utiles : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal sont chiraux, et chacun possède deux formes miroir non superposables. Nous voulons expliquer le second total annoncé, 15.

1. Dans le décompte par types, chacun des deux noms chiraux compte une seule fois. Les 11 autres types et ces 2 types donnent bien 11 + 2 = 13.

2. Dans le décompte par formes géométriques, chaque type chiral compte deux fois : une forme et son image dans un miroir. Les 2 types fournissent alors 2 × 2 = 4 formes.

3. On remplace les 2 entrées chirales du premier total par leurs 4 formes : 13 − 2 + 4 = 15. La figure rend visible ce changement de convention.

Le contrôle peut aussi partir des 11 types non dédoublés : 11 + 4 = 15. Les deux réponses sont donc correctes, à condition d'annoncer la convention. Le nombre 13 compte les types de duaux archimédiens ; le nombre 15 distingue les formes énantiomorphes.

Pour reconnaître un polyèdre de Catalan, on examine d'abord ses faces. Elles doivent être congruentes et équivalentes par les symétries du solide. Si ce sont plutôt les sommets qui ont tous le même environnement de polygones réguliers, la piste d'un polyèdre archimédien est plus adaptée.

Pour construire un modèle, on peut partir du polyèdre archimédien associé. On place un sommet du dual au centre de chaque face, puis on relie deux nouveaux sommets lorsque les faces initiales partagent une arête. Ce geste conserve le nombre d'arêtes et échange les nombres de faces et de sommets.

Pour comparer une maquette à son reflet, on tente de les superposer uniquement par des déplacements rigides. Si aucune superposition n'est possible, les deux objets sont énantiomorphes. Ce test est décisif pour l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal, dont les formes miroir expliquent le total 15.

Polyèdre de Catalan et polyèdre archimédien. Les deux membres d'une paire sont duaux, pas identiques. Dans le Catalan, une face correspond à un sommet de l'Archimédien associé ; confondre la paire ferait disparaître cet échange qui définit précisément la famille.

Polyèdre de Catalan et semi-régulier de deuxième espèce. La seconde expression désigne une classe plus large fondée sur la transitivité des faces. La présence des diamants et des antidiamants dans cette classe ne les ajoute pas à la liste des treize duaux archimédiens.

Treize ou quinze ? Il existe treize types de Catalan associés aux treize duaux archimédiens. L'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal sont chiraux : chacun possède deux formes miroir non superposables. En comptant séparément ces quatre formes énantiomorphes au lieu de deux types, le total devient quinze.

Équivalence ne signifie pas identité de position. Deux faces peuvent occuper des places différentes tout en étant envoyées l'une sur l'autre par une isométrie globale. Le critère porte sur l'action des symétries du solide, pas sur l'apparence d'une seule vue.

Dual ne signifie pas image miroir. La dualité échange faces et sommets ; la réflexion produit une image dans un miroir. Le décompte à quinze vient de la réflexion des deux types chiraux, non de la construction de leurs duaux.

La fiche polyèdre dual formalise l'échange entre faces et sommets qui engendre toute la famille de Catalan.

La fiche polyèdre reprend le vocabulaire de base des faces, des arêtes, des sommets et de la convexité.