dodécaèdre tronqué

Imaginez un dodécaèdre régulier, formé de douze faces pentagonales. Coupez chacun de ses vingt coins de la même manière. À la place de chaque coin apparaît un triangle équilatéral, tandis que chaque pentagone, privé de ses cinq pointes, devient un décagone régulier.

Le nouveau solide est le dodécaèdre tronqué. On y compte douze décagones et vingt triangles, soit trente-deux faces. Ses soixante sommets et ses quatre-vingt-dix arêtes résultent du même découpage régulier.

Le dodécaèdre tronqué est le solide archimédien obtenu en coupant uniformément les sommets d’un dodécaèdre régulier. La coupe qui rend toutes les nouvelles arêtes égales transforme chacune des douze faces pentagonales en un décagone régulier. Chacun des vingt sommets supprimés laisse une face triangulaire équilatérale. Le résultat possède donc 32 faces, 60 sommets et 90 arêtes. La figure de comptage rend visibles ces deux familles de faces.

Si la troncature progresse jusqu’à faire disparaître les portions centrales des arêtes initiales, les décagones redeviennent des pentagones : le solide limite est l’icosidodécaèdre. L’icosidodécaèdre est aussi la rectification de l’icosaèdre ou du dodécaèdre, c’est-à-dire le solide obtenu en coupant leurs arêtes à leurs milieux. Le polyèdre dual du dodécaèdre tronqué est le pentakis-dodécaèdre.

Le grand dodécaèdre tronqué est une autre figure. Issu du grand dodécaèdre, ce polyèdre uniforme étoilé, parfois qualifié de semi-régulier, porte l’indice U37 dans la classe de Badoureau-Coxeter. Ses faces sont douze pentagones étoilés et douze décagones ; il possède lui aussi 60 sommets et 90 arêtes.

On veut contrôler les nombres annoncés pour un dodécaèdre tronqué. Les données sont 12 décagones réguliers, 20 triangles équilatéraux et deux faces qui se rencontrent le long de chaque arête. La figure résume ce comptage sans représenter le solide en perspective.

1. Additionnez les faces : 12 + 20 = 32 faces.

2. Comptez les côtés de toutes les faces : 12 × 10 + 20 × 3 = 180 côtés de faces.

3. Chaque arête appartient à deux faces. Le nombre d’arêtes est donc 180 ÷ 2 = 90.

4. Chaque sommet réunit un triangle et deux décagones, donc trois faces. Les 180 incidences entre sommets et faces donnent 180 ÷ 3 = 60 sommets.

Le contrôle d’Euler confirme le résultat : 60 − 90 + 32 = 2. Les trois totaux sont cohérents pour ce polyèdre convexe.

Pour reconnaître un modèle, observez les faces qui entourent un sommet. Un triangle équilatéral et deux décagones réguliers doivent s’y rencontrer. Si les grandes faces sont des pentagones, le modèle correspond plutôt à l’icosidodécaèdre.

Pour vérifier un patron ou une maquette, comptez d’abord les deux familles de faces : douze décagones et vingt triangles. Le comptage des côtés de faces, divisé par deux, doit ensuite donner quatre-vingt-dix arêtes.

Pour suivre une troncature, regardez les faces issues des anciens pentagones. Elles sont décagonales au stade archimédien, puis deviennent pentagonales au stade limite de l’icosidodécaèdre.

L’icosidodécaèdre. Il porte lui aussi vingt triangles, mais ses douze autres faces sont des pentagones et non des décagones. Une grande face à cinq côtés tranche donc immédiatement entre les deux solides.

Le grand dodécaèdre tronqué. Cette figure étoilée comporte douze pentagones étoilés et douze décagones. La présence de faces étoilées la distingue du dodécaèdre tronqué archimédien, dont les vingt petites faces sont des triangles équilatéraux.

Toute coupe des sommets ne suffit pas. Si les coupes ne sont pas placées uniformément, les nouvelles faces ou arêtes ne sont pas toutes régulières. Il faut alors parler d’un dodécaèdre tronqué au sens descriptif, sans lui attribuer automatiquement le statut de solide archimédien.

Le stade limite change le type des grandes faces. Tant qu’une portion centrale de chaque ancienne arête subsiste, les faces issues des pentagones ont dix côtés. Lorsqu’elle disparaît, ces faces ont cinq côtés et le solide obtenu est l’icosidodécaèdre.

Les mêmes nombres ne prouvent pas l’identité. Le grand dodécaèdre tronqué possède également 60 sommets et 90 arêtes. Pour identifier la figure, il faut contrôler la nature de ses faces : triangles et décagones réguliers dans le cas archimédien, pentagones étoilés et décagones dans le cas U37.

Dodécaèdre — Retrouvez le solide de départ et ses faces pentagonales avant la coupe des sommets.

Icosidodécaèdre — Examinez le solide atteint au stade limite de la troncature et repérez ses faces pentagonales.

Grand dodécaèdre — Situez le polyèdre étoilé dont la troncature produit la variante U37.