AnalyseNotion · Glossaire
icosaèdre tronqué
L'icosaèdre tronqué est un solide archimédien obtenu en tronquant les 12 sommets d'un icosaèdre régulier. Il possède 32 faces réparties en 12 pentagones réguliers et 20 hexagones réguliers, 60 sommets et 90 arêtes. Chaque sommet est commun à un pentagone et deux hexagones. Sa structure géométrique se retrouve dans la molécule de fullerène C60, surnommée footballène en raison de sa ressemblance avec un ballon de football dont les coutures délimitent précisément des pentagones et des hexagones.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les 12 pentagones et les 20 hexagones qui forment les 32 faces.
- Retrouver les 90 arêtes et les 60 sommets par un double comptage.
- Distinguer l’icosaèdre tronqué du fullerène C60 et du ballon qui lui ressemble.
En clair
Imaginez une enveloppe fermée faite de panneaux : 12 sont des pentagones réguliers et 20 des hexagones réguliers. Ils composent 32 faces. Autour de chaque coin, on rencontre toujours un pentagone et deux hexagones. Cette répétition donne à l’objet son aspect caractéristique de ballon de football.
Ce solide est l’icosaèdre tronqué. Il s’obtient en coupant les 12 sommets d’un icosaèdre régulier selon la troncature qui rend régulières toutes les faces obtenues.
Définition
L’icosaèdre tronqué est un solide archimédien issu de la troncature des 12 sommets d’un icosaèdre régulier. La troncature considérée est celle qui produit deux sortes de faces régulières : 12 pentagones et 20 hexagones. Le solide compte donc 32 faces, 90 arêtes et 60 sommets.
Sa structure locale est la même à chacun de ses sommets : un pentagone et deux hexagones s’y rejoignent. Cette règle distingue la disposition des faces de leur simple inventaire. Elle explique aussi pourquoi une alternance quelconque de pentagones et d’hexagones ne suffit pas à former un icosaèdre tronqué.
La même organisation géométrique apparaît dans le fullerène C60, une molécule surnommée footballène. Le rapprochement porte sur la structure en pentagones et en hexagones ; le solide géométrique et la molécule restent deux objets de nature différente.
Un exemple, pas à pas
On veut retrouver les nombres d’arêtes et de sommets à partir des faces. Données : 12 pentagones, 20 hexagones, deux faces par arête et, à chaque sommet, un pentagone avec deux hexagones.
1. Comptez les côtés face par face : 12 × 5 + 20 × 6 = 60 + 120 = 180 incidences entre une face et une arête.
2. Chaque arête borde deux faces. Le comptage précédent la voit donc deux fois : 180 ÷ 2 = 90 arêtes.
3. Chaque sommet appartient à trois faces. Les 180 incidences entre une face et un sommet se regroupent donc par trois : 180 ÷ 3 = 60 sommets.
Le résultat est bien 32 faces, 90 arêtes et 60 sommets. Pour contrôler le calcul, recomptez 60 côtés de pentagones et 120 côtés d’hexagones : leur total doit rester 180 avant le partage par deux.
En pratique
Sur un modèle géométrique, commencez par compter les types de faces. L’icosaèdre tronqué est le bon nom si le modèle présente 12 pentagones réguliers, 20 hexagones réguliers et la même rencontre d’une face pentagonale avec deux faces hexagonales à chaque sommet.
Pour vérifier un dessin ou une maquette, utilisez le double comptage des côtés. Le total 180 doit conduire à 90 arêtes, car chacune appartient à deux faces. Si les comptes diffèrent, préférez l’inventaire face par face à l’impression visuelle.
En chimie, le nom fullerène C60 convient lorsque l’on parle de la molécule. Le nom icosaèdre tronqué convient lorsque l’on étudie le solide et l’organisation géométrique que cette molécule rappelle.
À ne pas confondre
Avec l’icosaèdre. L’icosaèdre tronqué résulte de la coupe des 12 sommets de l’icosaèdre régulier. La présence de 12 pentagones et de 20 hexagones tranche immédiatement en faveur du solide tronqué.
Avec le fullerène C60. Le premier est un solide géométrique ; le second est une molécule dont la structure reprend cette organisation. Le contexte — géométrie ou chimie — indique donc quel nom employer.
Avec un ballon de football. Le ballon fournit une ressemblance visible grâce à ses pentagones et ses hexagones. L’icosaèdre tronqué, lui, est défini par des faces régulières, des comptes exacts et une même configuration à chaque sommet.
Limites et pièges
Une coupe quelconque ne suffit pas. Le mot « tronqué » décrit une famille d’opérations, mais l’icosaèdre tronqué archimédien exige ici des pentagones et des hexagones réguliers. Si les faces obtenues ne sont pas régulières, il faut décrire un icosaèdre coupé sans lui attribuer automatiquement ce nom précis.
Le bon total ne suffit pas à lui seul. Un assemblage annoncé avec 12 pentagones et 20 hexagones doit aussi présenter, à chacun de ses 60 sommets, exactement un pentagone et deux hexagones. Une autre rencontre locale signale une structure différente.
Une projection peut tromper l’œil. Sur un dessin en perspective, certaines faces régulières paraissent déformées ou partiellement cachées. Il faut contrôler les incidences et les nombres 32, 90 et 60 plutôt que juger la régularité sur leur seule apparence plane.
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