GéométrieNotion · Glossaire
fullerène
Un fullerène est une molécule de carbone pur organisée en une structure fermée et creuse, dont la géométrie peut évoquer une sphère, un ellipsoïde, un tube ou un anneau. Dans le modèle d’une cage sphérique fermée 3-valente formée uniquement de faces pentagonales et hexagonales, chaque arête bordant deux faces, la cage comporte nécessairement 12 pentagones ; les hexagones complètent le réseau.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier un fullerène comme une cage fermée de carbone pur.
- Relier le C60 à ses 12 pentagones et 20 hexagones.
- Vérifier les 32 faces et 90 arêtes avec un double contrôle combinatoire.
- Distinguer le C60 d’un icosaèdre, d’un dôme géodésique et de la famille entière.
En clair
Imaginez un grillage fait uniquement d’atomes de carbone, puis refermé sur lui-même. Les mailles ne sont pas toutes identiques : des pentagones permettent à l’ensemble de se courber, tandis que des hexagones complètent la surface. Cette cage creuse est un fullerène.
Le C60 en donne l’image la plus connue : son modèle polyédrique, avec 12 pentagones et 20 hexagones, reprend la structure combinatoire d’un icosaèdre tronqué, comparable par sa forme à un ballon composé de panneaux.
Définition
Un fullerène est une molécule de carbone pur organisée en structure fermée et creuse. Sa géométrie peut rappeler une sphère, un ellipsoïde, un tube, nommé nanotube de carbone dans la source, ou un anneau. Le mot rend hommage à Richard Buckminster Fuller, dont les dômes géodésiques évoquent ces architectures polyédriques.
Dans la formule C2n, la lettre n désigne la moitié du nombre d’atomes de carbone. Pour une cage sphérique fermée et 3-valente, dont chaque arête borde deux faces et dont les seules faces sont 12 pentagones et des hexagones, si H désigne le nombre de faces hexagonales, alors .
Pour C60, on a 2n = 60, donc n = 30 et H = 20. Le modèle polyédrique de ce buckminsterfullerène, aussi appelé footballène, possède la structure combinatoire d’un icosaèdre tronqué. Découverts en 1985 par Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley, les fullerènes ont valu à ces trois chimistes le prix Nobel de chimie en 1996.
Un exemple, pas à pas
Prenons le C60. Les données sont 60 sommets, correspondant aux 60 atomes de carbone dans le modèle polyédrique, 12 faces pentagonales et 20 faces hexagonales. Une représentation par familles de faces rend les décomptes vérifiables.
1. Calculer le nombre total de faces : 12 + 20 = 32.
2. Compter les côtés de toutes les faces : 12 × 5 + 20 × 6 = 180. Chaque arête appartient à deux faces, donc le polyèdre possède 180 ÷ 2 = 90 arêtes.
3. Contrôler avec la relation d’Euler pour ce polyèdre fermé : sommets − arêtes + faces = 60 − 90 + 32 = 2.
Le décompte est cohérent. Un second contrôle donne 3 × 60 = 180 extrémités d’arêtes, soit 2 × 90, car trois arêtes se rencontrent à chaque sommet de l’icosaèdre tronqué.
En pratique
Devant un modèle moléculaire, le premier geste consiste à vérifier que le réseau de carbone forme une cage fermée. Une feuille ouverte ne répond pas à ce critère ; il faut alors décrire le réseau sans l’appeler fullerène.
Pour identifier le C60, on compte 12 pentagones et 20 hexagones, puis on contrôle la cohérence du modèle avec 60 sommets et 90 arêtes. Ce décompte distingue sa structure précise d’une simple forme approximativement sphérique.
En pharmacologie, cosmétique, électronique ou photovoltaïque, le nom du domaine ne suffit pas à préciser l’usage. Il faut identifier le fullerène concerné et la propriété mécanique, électronique ou chimique effectivement mobilisée, plutôt que d’attribuer au seul C60 toutes les applications de la famille.
À ne pas confondre
Icosaèdre et icosaèdre tronqué. L’icosaèdre possède 20 faces triangulaires. Le modèle polyédrique du C60 suit la structure combinatoire de sa version tronquée, composée de 12 pentagones et de 20 hexagones : la nature des faces tranche immédiatement.
Dôme géodésique et fullerène. Le dôme est une structure architecturale polyédrique inscrite dans une sphère ; le fullerène est une molécule de carbone. Leur ressemblance géométrique explique le nom, mais leur matière et leur échelle les distinguent.
Fullerène et C60. C60 est un fullerène particulier, non un synonyme de toute la famille. Une structure tubulaire ou annulaire citée dans la définition reste un autre cas, même si elle est constituée de carbone pur.
Limites et pièges
La formule suppose le cadre pentagones–hexagones. Le décompte H = n − 10 s’emploie pour une cage sphérique fermée et 3-valente C2n, dont chaque arête borde deux faces et dont les seules faces sont exactement 12 pentagones et des hexagones. Si ces conditions ne sont pas réunies, il faut reprendre le comptage à partir de la structure au lieu d’appliquer cette formule.
Une apparence ronde ne suffit pas. Une sphère dessinée sans réseau fermé ni décompte des faces ne permet pas d’identifier le C60. Le bon contrôle porte sur les 12 pentagones, les 20 hexagones et leurs incidences.
Le modèle géométrique n’épuise pas la molécule. L’icosaèdre tronqué décrit l’organisation du C60, tandis que ses propriétés mécaniques, électroniques et chimiques relèvent aussi de sa nature carbonée et de son échelle nanométrique. Une conclusion physique ne se déduit donc pas du seul dessin polyédrique.
Pour aller plus loin
polyèdre — Pour replacer faces, arêtes et sommets dans le cadre géométrique utilisé pour contrôler le C60.
icosaèdre — Pour distinguer l’icosaèdre initial de sa forme tronquée à pentagones et hexagones.
Souffler les polyèdres — Pour prolonger l’intuition des structures polyédriques inscrites dans une forme proche de la sphère.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres