icosidodécaèdre tronqué

Imaginez une construction fermée dont la surface assemble trois sortes de polygones réguliers : des carrés, des hexagones et des décagones. Cette combinaison donne à l'objet une silhouette presque ronde, tout en laissant chaque face parfaitement plane.

L'icosidodécaèdre tronqué compte précisément 30 carrés, 20 hexagones et 12 décagones, soit 62 faces. Leurs bords forment 180 arêtes et se rejoignent en 120 sommets. Le mot « tronqué » rappelle que sa construction découpe à la fois les sommets et les arêtes d'un icosaèdre ou d'un dodécaèdre.

L'icosidodécaèdre tronqué est un solide archimédien convexe. Ses 62 faces régulières se répartissent en 30 carrés, 20 hexagones et 12 décagones. Elles délimitent 180 arêtes et 120 sommets. Autour de chaque sommet se rencontrent un carré, un hexagone et un décagone : la même disposition locale se répète donc sur tout le solide.

On peut le construire à partir d'un icosaèdre ou d'un dodécaèdre en tronquant simultanément leurs sommets et leurs arêtes. Les noms « grand rhombicosidodécaèdre » et « icosidodécaèdre rhombitronqué » désignent ce même solide convexe.

La variante appelée grand icosidodécaèdre tronqué est, elle, un polyèdre semi-régulier étoilé et uniforme. Elle conserve 120 sommets, 180 arêtes et 62 faces, mais ses 12 décagones sont remplacés par 12 décagones étoilés, ou décagrammes, aux côtés de 30 carrés et 20 hexagones. L'enveloppe convexe de ses sommets est géométriquement équivalente au solide convexe et possède, comme lui, des faces régulières.

Vérifions le nombre d'arêtes sans examiner une maquette arête par arête. Le décompte des côtés portés par les trois familles de faces fournit un contrôle visuel et calculable.

Données.
30 carrés de 4 côtés.
20 hexagones de 6 côtés.
12 décagones de 10 côtés.
62 faces et 120 sommets au total.

Étape 1. Comptons les côtés face par face : $30\times 4+20\times 6+12\times 10=36030\backslash times4+20\backslash times6+12\backslash times10=360$. Nous obtenons 360 côtés de faces.

Étape 2. Dans ce polyèdre fermé, chaque arête borde exactement deux faces. Le nombre d'arêtes vaut donc $360÷2=180360\backslash div2=180$.

Étape 3. Contrôlons avec la relation d'Euler pour un polyèdre convexe : $120-180+62=2120-180+62=2$. Les nombres de sommets, d'arêtes et de faces sont cohérents.

Résultat. Le solide possède bien 180 arêtes. Le premier calcul vérifie leur nombre à partir des faces ; le second contrôle indépendamment l'inventaire complet.

Pour identifier une maquette, mieux vaut inventorier les faces que se fier à la silhouette générale. La présence simultanée de carrés, d'hexagones et de décagones, dans les quantités 30, 20 et 12, caractérise le solide convexe décrit ici.

Pour contrôler une fiche ou un modèle, additionnez les côtés des faces puis divisez par deux, car chaque arête appartient à deux faces. La relation d'Euler fournit ensuite un second test avec les 120 sommets et les 62 faces.

Pour choisir entre la forme convexe et la variante étoilée, observez les douze faces restantes après les carrés et les hexagones. Des décagones indiquent l'icosidodécaèdre tronqué convexe ; des décagones étoilés, ou décagrammes, indiquent le grand icosidodécaèdre tronqué.

Grand rhombicosidodécaèdre et grand icosidodécaèdre tronqué. Le premier nom est un synonyme de l'icosidodécaèdre tronqué convexe ; le second désigne la variante étoilée. Pour trancher, examinez les douze faces caractéristiques : ce sont des décagones dans le solide convexe et des décagones étoilés, ou décagrammes, dans l'autre.

Une troncature trop vite interprétée. Ici, « tronqué » ne décrit pas la seule découpe des sommets. La construction indiquée agit simultanément sur les sommets et les arêtes d'un icosaèdre ou d'un dodécaèdre ; il faut conserver ces deux opérations.

Trois totaux insuffisants. Les nombres 120, 180 et 62 ne séparent pas la forme convexe de la variante étoilée, puisqu'elles les partagent. Il faut aussi lire la nature des douze faces : décagones réguliers ou décagones étoilés, appelés aussi décagrammes.

Une même enveloppe ne signifie pas les mêmes faces. L'enveloppe convexe des sommets de la variante étoilée est géométriquement équivalente à l'icosidodécaèdre tronqué convexe et ses faces sont régulières. Cela n'autorise pas à identifier leurs découpages en faces : la variante comporte douze décagrammes à la place des douze décagones réguliers de son enveloppe.

L'article icosidodécaèdre présente le solide dont le nom et la structure éclairent la famille géométrique de l'objet tronqué.

La fiche Troncature précise l'opération géométrique évoquée dans la construction à partir de l'icosaèdre ou du dodécaèdre.

Le glossaire polyèdre uniforme prolonge la distinction entre la forme convexe et le grand icosidodécaèdre tronqué étoilé.