ArithmétiqueNotion · Glossaire
Troncature
La troncature est une opération consistant à supprimer les chiffres d'un nombre après un certain rang, sans arrondi. La troncature à n décimales d'un nombre réel x est le plus grand multiple de 10^{-n} inférieur ou égal à x pour les positifs. Elle diffère de l'arrondi en ce qu'elle n'augmente jamais la valeur absolue et peut introduire une erreur systématique. La troncature est utilisée dans les systèmes informatiques pour la représentation des flottants.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Tronquer 12,9876 à deux décimales et contrôler l'erreur obtenue.
- Distinguer la troncature de l'arrondi sur une même valeur.
- Traiter correctement les nombres négatifs et la partie entière.
- Comprendre pourquoi une représentation flottante n'est pas automatiquement une troncature décimale.
En clair
Prenons le nombre 12,9876 et gardons seulement deux chiffres après la virgule. On coupe après le 8 : le résultat est 12,98. Les chiffres suivants, 7 et 6, disparaissent sans modifier le dernier chiffre conservé.
Ce geste est une troncature. Il ne cherche pas la valeur la plus proche : 12,9876 serait arrondi à 12,99, mais il est tronqué à 12,98.
Définition
La troncature à un nombre fixé de décimales conserve les chiffres jusqu'au rang choisi et supprime tous les suivants, sans arrondir. Soit x un nombre réel et n un entier positif ou nul représentant le nombre de décimales conservées. En notant Tn(x) le résultat, une définition valable pour les nombres positifs, négatifs et zéro est . Le symbole sgn désigne le signe de x.
Pour x positif, Tn(x) est le plus grand multiple de 10−n inférieur ou égal à x. Pour x négatif, c'est le plus petit de ces multiples supérieur ou égal à x. Dans les deux cas, la troncature se dirige vers zéro et n'augmente pas la valeur absolue. L'erreur en valeur absolue est strictement inférieure à 10−n.
Cette opération peut intervenir dans un traitement informatique qui élimine volontairement des chiffres. Elle ne décrit toutefois pas, à elle seule, toute représentation en virgule flottante : un format flottant utilise une base et une précision données, avec une règle d'arrondi déterminée.
Un exemple, pas à pas
On veut tronquer 12,9876 à deux décimales et vérifier l'écart créé.
Données :
Nombre initial : 12,9876.
Nombre de décimales conservées : 2.
Pas correspondant : 10−2 = 0,01.
Nombre initial : 12,9876.
Nombre de décimales conservées : 2.
Pas correspondant : 10−2 = 0,01.
1. Repérer le deuxième chiffre après la virgule : c'est le 8 de 12,98.
2. Supprimer les chiffres suivants, 7 et 6, sans augmenter le 8.
3. Obtenir T2(12,9876) = 12,98.
4. Calculer l'écart : 12,9876 − 12,98 = 0,0076. Une droite graduée rend visibles la coupure à 12,98 et la valeur 12,99 qu'aurait donnée l'arrondi.
2. Supprimer les chiffres suivants, 7 et 6, sans augmenter le 8.
3. Obtenir T2(12,9876) = 12,98.
4. Calculer l'écart : 12,9876 − 12,98 = 0,0076. Une droite graduée rend visibles la coupure à 12,98 et la valeur 12,99 qu'aurait donnée l'arrondi.
Le résultat est donc 12,98. Le contrôle consiste à vérifier que 12,98 ≤ 12,9876 < 12,99 : la valeur obtenue est bien un multiple de 0,01, et l'écart 0,0076 reste inférieur à 0,01.
En pratique
Pour afficher une valeur avec un nombre fixe de décimales, un programme peut couper les chiffres excédentaires. Si l'objectif est la valeur la plus proche, il faut choisir un arrondi à la place.
Dans un calcul numérique, la troncature fournit une approximation dirigée vers zéro. Elle est utile lorsque cette direction est voulue et contrôlée ; un arrondi est préférable si l'on souhaite équilibrer les écarts de part et d'autre.
Avec des nombres stockés en virgule flottante, il faut identifier la règle réellement appliquée par le système. Une précision limitée n'implique pas automatiquement une troncature décimale.
À ne pas confondre
Arrondi. L'arrondi choisit une valeur selon une règle de proximité et peut augmenter le dernier chiffre conservé. À deux décimales, 12,9876 devient 12,99 par arrondi au plus proche, mais 12,98 par troncature.
Partie entière. La fonction partie entière par défaut mathématique prend le plus grand entier inférieur ou égal au nombre. Ainsi, pour −12,9876, elle vaut −13, tandis que la troncature à zéro décimale vers zéro donne −12.
Limites et pièges
Nombres négatifs. Dire seulement « prendre le multiple inférieur » produit −12,99 pour −12,9876 à deux décimales. La troncature des chiffres vers zéro donne −12,98 ; il faut donc annoncer la convention utilisée.
Erreur orientée. À n décimales, chaque troncature crée un écart de valeur absolue strictement inférieur à 10−n. À deux décimales, le seuil est donc 0,01. Des troncatures répétées peuvent cumuler des écarts dirigés vers zéro ; il faut conserver davantage de chiffres pendant le calcul si ce biais est gênant.
Virgule flottante. Une valeur affichée avec peu de décimales ne prouve pas que les données ont été tronquées. Le stockage peut être binaire et l'affichage arrondi ; il faut vérifier le format, la précision et la règle de conversion.
Pour aller plus loin
La partie entière prolonge l'étude des approximations par paliers. Son comportement sur les nombres négatifs montre précisément pourquoi « vers zéro » et « vers le bas » ne sont pas équivalents.
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