Partie fractionnaire

Sur une droite graduée, 3,7 se trouve entre 3 et 4. Après les 3 unités entières, il reste 0,7 unité : ce reste est la partie fractionnaire.

Avec un nombre négatif, le repère reste le plus grand entier inférieur ou égal au nombre. Ainsi, −1,3 se situe entre −2 et −1 : l’écart depuis −2 vaut encore 0,7. La partie fractionnaire est donc toujours comprise entre 0 inclus et 1 exclu.

Pour tout nombre réel, la partie entière est l’unique entier inférieur ou égal à ce nombre, dont l’entier suivant lui est strictement supérieur. Si le réel est noté x, sa partie entière se note ⌊x⌋ et sa partie fractionnaire se note {x}. Cette dernière est la différence entre le nombre et sa partie entière :

La borne 0 est atteinte exactement lorsque x est entier ; la borne 1 ne l’est jamais. Pour un nombre positif écrit en décimal, cette valeur correspond aux chiffres après la virgule, mais cette lecture naïve échoue avec les nombres négatifs. En effet, ⌊−1,3⌋ vaut −2, donc {−1,3} vaut 0,7 et non −0,3. Deux nombres qui diffèrent d’un entier ont la même partie fractionnaire. Cette propriété permet de ramener tout réel dans l’intervalle [0, 1[, notamment pour étudier des suites modulo 1 et leur éventuelle équirépartition.

Comparons 3,7 et −1,3. Les données sont les deux réels 3,7 et −1,3, ainsi que la règle qui retient, pour chacun, l’entier immédiatement à gauche sur la droite graduée.

1. Pour 3,7, l’entier recherché est 3, car 3 ≤ 3,7 < 4.
2. On soustrait cet entier : {3,7} = 3,7 − 3 = 0,7.
3. Pour −1,3, l’entier recherché est −2, car −2 ≤ −1,3 < −1.
4. On soustrait cet entier : {−1,3} = −1,3 − (−2) = 0,7.

Les deux parties fractionnaires valent donc exactement 0,7. Le contrôle consiste à vérifier que chaque résultat appartient à [0, 1[, puis que le nombre initial se recompose comme partie entière plus partie fractionnaire : 3 + 0,7 = 3,7 et −2 + 0,7 = −1,3. Les deux nombres diffèrent d’ailleurs de 5, un entier, ce qui explique l’égalité de leurs parties fractionnaires.

Pour ramener un réel dans un tour de longueur 1, on conserve sa partie fractionnaire. Ainsi, 3,7 et −1,3 occupent tous deux la position 0,7 après réduction modulo 1.

Dans l’étude d’une suite, on peut observer les parties fractionnaires de ses termes. Si elles se répartissent à long terme de façon uniforme dans [0, 1[, la suite est dite équirépartie modulo 1 ; quelques valeurs ne suffisent toutefois pas à conclure.

Pour un calcul décimal positif, lire les chiffres après la virgule peut suffire. Dès que le nombre est négatif ou donné sous une autre forme, la soustraction x − ⌊x⌋ est le critère fiable.

Partie entière. La partie entière ⌊x⌋ est un entier, tandis que la partie fractionnaire {x} appartient à [0, 1[. Pour x = 3,7, elles valent respectivement 3 et 0,7.

Partie décimale écrite après la virgule. Pour un réel positif en écriture décimale, elle donne la même valeur. Pour −1,3, les chiffres affichés suggèrent −0,3 si l’on retire la troncature vers zéro, alors que la partie fractionnaire vaut 0,7. Le test décisif est l’appartenance à [0, 1[.

Nombre entier. Si x est entier, sa partie entière est x lui-même et {x} = 0. Ce cas atteint la borne inférieure ; il ne faut pas chercher des chiffres non nuls après la virgule.

Borne supérieure. Une partie fractionnaire peut s’approcher autant que voulu de 1, par exemple avec 0,999, mais elle ne vaut jamais 1. Si un calcul donne 1, il faut reporter une unité dans la partie entière, ce qui ramène la partie fractionnaire à 0.

Nombres négatifs. Tronquer vers zéro produit le mauvais repère : pour −1,3, cette troncature donne −1 et un reste −0,3. Il faut prendre l’entier inférieur −2, puis calculer −1,3 − (−2) = 0,7.

Arrondis numériques. Une valeur affichée comme 2 peut provenir d’un réel très légèrement inférieur à 2. La partie fractionnaire réelle est alors proche de 1, et non de 0. Il faut conserver la précision disponible avant d’appliquer la partie entière.

La fiche partie entière précise le choix de l’entier inférieur, indispensable pour traiter correctement les réels négatifs.

La répétition du motif de la fonction partie fractionnaire traduit, pour tout entier n, l’identité $\{x+n\}=\{x\}\backslash \{x+n\backslash \}=\backslash \{x\backslash \}$. Cette périodicité de période 1 relie la notion au calcul modulo 1. Dans une suite, étudier la répartition de ces valeurs dans [0, 1[ conduit à la notion d’équirépartition.