ArithmétiqueNotion · Glossaire
partie entière
La partie entière d'un nombre réel est le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal. Sur une droite graduée, c'est l'entier immédiatement à sa gauche, ou le nombre lui-même s'il est entier. Pour un réel négatif non entier, elle diffère de la troncature : il faut descendre vers l'entier inférieur.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la partie entière comme le plus grand entier inférieur ou égal au réel.
- Calculer et contrôler la partie entière de −2,3.
- Distinguer plancher, plafond, troncature et arrondi.
- Éviter l'erreur de signe avec les réels négatifs non entiers.
En clair
Plaçons −2,3 sur une droite graduée. Ce nombre se trouve entre −3 et −2. Parmi les entiers qui ne le dépassent pas, −3 est le plus grand : sa partie entière vaut donc −3. Le geste consiste à descendre jusqu'à l'entier immédiatement situé à gauche, et non à supprimer les décimales.
Avec un nombre positif comme 2,3, ce geste mène à 2. Avec un entier comme −2, il ne se passe rien : sa partie entière reste −2.
Définition
Pour tout nombre réel nommé x, sa partie entière par défaut est l'unique entier n qui vérifie . Autrement dit, n est le plus grand entier inférieur ou égal à x. On la note traditionnellement E(x), ou avec la notation plancher ⌊x⌋. La notation [x] existe aussi, mais son sens peut dépendre du contexte.
Si x est déjà entier, alors E(x) = x. Pour un réel positif, le plancher donne le même résultat que la troncature à l'unité. Pour un réel négatif non entier, il faut aller vers l'entier inférieur : E(−2,3) = −3, et non −2.
La variante par excès est appelée plafond et se note ⌈x⌉. Elle fournit le plus petit entier supérieur ou égal à x. Lorsque x n'est pas entier, ⌈x⌉ = E(x) + 1 ; lorsque x est entier, plancher et plafond valent tous deux x.
Un exemple, pas à pas
On cherche la partie entière du réel x = −2,3. Le résultat doit être un entier et rester inférieur ou égal à la valeur de départ.
Données : x vaut −2,3 ; les deux entiers voisins sont −3 et −2 ; on cherche le plus grand entier qui ne dépasse pas x.
Données : x vaut −2,3 ; les deux entiers voisins sont −3 et −2 ; on cherche le plus grand entier qui ne dépasse pas x.
1. Comparer x aux deux entiers voisins : .
2. Écarter −2, car −2 est supérieur à −2,3.
3. Retenir −3, qui ne dépasse pas −2,3 et qui est le plus grand entier dans ce cas.
4. Écrire le résultat : E(−2,3) = −3.
2. Écarter −2, car −2 est supérieur à −2,3.
3. Retenir −3, qui ne dépasse pas −2,3 et qui est le plus grand entier dans ce cas.
4. Écrire le résultat : E(−2,3) = −3.
Contrôle : le résultat doit vérifier . Ici, −3 ≤ −2,3 < −2, donc le calcul est cohérent. Ce contrôle écarte aussi −4, qui est bien inférieur à −2,3 mais n'est pas le plus grand entier possible. Une droite graduée matérialise enfin l'encadrement en reliant le réel −2,3 à l'entier −3 immédiatement inférieur.
En pratique
Pour ranger un réel dans un intervalle d'une unité, la partie entière donne le bord gauche. Ainsi, x = −2,3 appartient à l'intervalle allant de −3 inclus à −2 exclu. Si les intervalles sont fermés à droite, il faut choisir une autre convention pour les valeurs situées sur une borne.
Dans un calcul de quotient, le plancher sert à compter seulement les groupes complets lorsque le quotient est positif. Si un reste doit être traité comme un groupe supplémentaire, le plafond est l'opération adaptée.
Sur une droite graduée, on repère le réel puis on choisit le plus grand entier placé à sa gauche ou exactement sur lui. Pour un réel négatif non entier, ce geste est plus sûr que l'effacement mécanique des décimales.
À ne pas confondre
La troncature à l'unité. Elle supprime la partie décimale et rapproche donc un réel négatif de zéro. Pour −2,3, la troncature donne −2, tandis que le plancher donne −3. Les deux opérations coïncident pour les réels positifs et pour les entiers.
L'arrondi à l'entier le plus proche. Il choisit l'entier le plus proche, alors que la partie entière choisit toujours un entier inférieur ou égal. Par exemple, 2,8 s'arrondit à 3, mais sa partie entière vaut 2.
Limites et pièges
Le signe change le réflexe. Pour un réel négatif non entier, retirer les décimales donne une valeur trop grande. Le symptôme est immédiat avec −2,3 : −2 ne vérifie pas la condition « inférieur ou égal ». Il faut retenir −3.
Le cas charnière est l'entier. Si x est entier, le plancher et le plafond valent x. La règle ⌈x⌉ = E(x) + 1 ne s'applique donc qu'aux réels non entiers ; l'employer pour x = −2 donnerait à tort −1.
La notation peut être ambiguë. E(x) et ⌊x⌋ désignent ici le plancher, tandis que [x] peut recevoir un autre sens selon l'auteur. Avant un calcul, il faut vérifier la convention donnée dans le texte.
Pour aller plus loin
La fiche Troncature précise l'opération qui coïncide avec le plancher pour les réels positifs, mais pas pour les négatifs non entiers.
La fiche Partie fractionnaire prolonge la décomposition d'un réel en séparant l'entier inférieur de ce qui reste.
La fiche Entiers relatifs replace les valeurs positives, nulles et négatives qui servent de résultats au plancher.
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