Majoré

Imaginez les nombres de l’intervalle ouvert (0, 1), tous placés entre 0 et 1 sans jamais atteindre ces deux extrémités. Le nombre 1 forme un plafond : aucun nombre de l’intervalle ne le dépasse. On dit alors que cet intervalle est majoré et que 1 est un majorant.

Le plafond choisi n’est pas forcément le plus bas. Ainsi, 1,5 et 2 sont aussi des majorants de (0, 1), tandis que 0,9 ne l’est pas puisque certains nombres de l’intervalle sont plus grands.

Soit un ensemble ordonné E et une partie A de E. La partie A est majorée dans E lorsqu’il existe au moins un élément m de E supérieur ou égal à chacun de ses éléments. Un tel élément m est appelé un majorant de A. Cette condition s’écrit :

La majoration dépend donc de l’ensemble ambiant E et de son ordre. Un même ensemble peut avoir plusieurs majorants. Lorsqu’un plus petit majorant existe, il s’appelle la borne supérieure, ou supremum, de A. Dans les nombres réels, toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure. Celle-ci ne doit pas nécessairement appartenir à A : la borne supérieure de l’intervalle ouvert (0, 1) vaut 1, mais 1 est exclu de l’intervalle. La propriété « être majoré » affirme seulement l’existence d’un plafond ; elle n’affirme ni que ce plafond est unique, ni qu’il est atteint.

On étudie la partie A des nombres réels formée par l’intervalle ouvert (0, 1). Les données sont les suivantes : un nombre x appartient à A lorsque 0 < x < 1 ; les extrémités 0 et 1 sont exclues ; le nombre proposé comme majorant est m = 1.

1. Prendre un nombre quelconque x de A.
2. Utiliser la condition x < 1, qui entraîne x ≤ 1.
3. Conclure que 1 majore A, puisque la comparaison vaut pour tout x de A.
4. Tester un nombre b strictement inférieur à 1. Si 0 ≤ b < 1, le milieu entre b et 1 appartient à A et dépasse b ; si b < 0, le nombre 1/2 appartient à A et dépasse b.
5. Conclure qu’aucun nombre inférieur à 1 ne majore A.

Le résultat est donc : A est majorée, 1 est son plus petit majorant, et $\sup A=1\backslash sup\; A=1$. Pourtant, A n’a pas de maximum puisque 1 n’appartient pas à A. Une droite graduée rend simultanément visibles l’intervalle ouvert et la demi-droite de ses majorants. Pour refaire le contrôle, 0,9 échoue face à 0,95, alors que tout nombre supérieur ou égal à 1 convient.

Pour prouver qu’une partie est majorée, il suffit de fournir un nombre qui domine tous ses éléments et de justifier cette comparaison. Il n’est pas nécessaire de trouver immédiatement le plus petit majorant.

Quand on cherche la meilleure valeur de plafond, on détermine plutôt la borne supérieure. Pour (0, 1), les nombres 1,5 et 2 prouvent la majoration, mais seul 1 décrit exactement la frontière supérieure.

Pour établir qu’une partie n’est pas majorée, le geste s’inverse : face à chaque plafond proposé, il faut exhiber un élément plus grand. Si l’on doit encadrer la partie dans les deux directions, la seule majoration ne suffit pas ; il faut aussi rechercher un minorant.

Majorant et maximum. Un majorant appartient à l’ensemble ambiant, mais pas forcément à la partie étudiée. Un maximum doit appartenir à cette partie. Ainsi, 1 majore (0, 1), mais n’en est pas le maximum.

Majoré et minoré. Une partie majorée possède un plafond ; une partie minorée possède un plancher. L’intervalle (0, 1) vérifie les deux propriétés, tandis que l’intervalle des réels strictement inférieurs à 1 est majoré mais pas minoré.

Majoré et borné. Dans les réels, une partie est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée. L’ensemble des réels négatifs est majoré par 0, mais il n’est pas borné puisqu’il descend sans limite.

La borne peut être absente de la partie. Pour (0, 1), le symptôme est l’extrémité ouverte en 1. Il faut annoncer « borne supérieure égale à 1 », et non « maximum égal à 1 ».

La non-vacuité est indispensable au théorème réel. Dans les réels, l’ensemble vide est majoré par tout réel, car aucun élément ne contredit la comparaison, mais il n’a pas de borne supérieure réelle. Il faut donc vérifier que la partie est non vide avant d’invoquer la propriété de la borne supérieure.

L’ensemble ambiant compte. La propriété de complétude citée vaut dans les réels. Dans un autre ensemble ordonné, une partie non vide et majorée peut ne pas avoir de plus petit majorant. Il faut préciser l’ensemble ambiant avant de conclure à l’existence d’une borne supérieure.

Un majorant n’est pas unique. Pour (0, 1), tout réel supérieur ou égal à 1 est un majorant. Il faut distinguer un majorant quelconque du plus petit d’entre eux, qui seul est la borne supérieure.

Borne supérieure. Cette notion précise comment sélectionner le plus petit de tous les majorants, même lorsqu’il n’appartient pas à la partie.

Minoré. La notion symétrique remplace le plafond par un plancher et complète le critère qui permet de reconnaître une partie bornée.