Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Borne supérieure
La borne supérieure (ou supremum) d'un ensemble A de réels est le plus petit des majorants de A, c'est-à-dire le plus petit réel M tel que M soit supérieur ou égal à tous les éléments de A. Si A est non vide et majoré, le supremum existe dans ℝ par la propriété de la borne supérieure (aussi appelée complétude de ℝ). Le supremum peut appartenir ou non à A : s'il appartient à A, c'est le maximum de A. Cette notion est fondamentale en analyse réelle et dans la définition de l'intégrale de Riemann.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le plus petit majorant d'un ensemble de réels.
- Distinguer une borne supérieure d'un maximum et d'un majorant quelconque.
- Vérifier sur l'intervalle ouvert entre 0 et 2 que le supremum vaut 2 sans être atteint.
- Reconnaître les hypothèses de non-vacuité et de majoration.
En clair
Imaginez tous les nombres strictement compris entre 0 et 2. Aucun n'est le dernier : après 1,9, on trouve encore 1,99, puis 1,999. Pourtant, aucun nombre de cet ensemble ne dépasse 2.
Parmi toutes les valeurs qui restent au-dessus de l'ensemble, 2 est la plus petite. C'est sa borne supérieure, ou son supremum. Elle décrit donc le plafond le plus ajusté, même lorsque ce plafond ne fait pas partie de l'ensemble.
Définition
Soit A un ensemble de nombres réels. Un réel m est un majorant de A lorsque chaque élément de A est inférieur ou égal à m. La borne supérieure de A, notée , est le plus petit de ces majorants. Autrement dit, elle majore A et aucun réel strictement plus petit ne le majore.
Cette définition suppose que A est non vide et majoré. Dans l'ensemble des réels, la propriété de la borne supérieure, aussi appelée complétude de ℝ, garantit alors l'existence et l'unicité de . Une caractérisation utile est la suivante : pour tout réel positif ε, il existe un élément a de A tel que . Les éléments de A peuvent donc s'approcher du supremum d'aussi près qu'on le souhaite, tout en lui restant inférieurs ou égaux ; l'égalité est possible lorsque le supremum appartient à A.
Le supremum n'est pas nécessairement un élément de A. S'il appartient à A, il est aussi le maximum de A. Pour l'intervalle ouvert des réels strictement compris entre 0 et 2, le supremum vaut 2, mais l'ensemble n'a pas de maximum.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble A formé de tous les réels strictement compris entre 0 et 2. Les données sont : les éléments vérifient 0 < x < 2 ; les extrémités 0 et 2 sont exclues ; le candidat étudié est 2.
1. Vérifions que 2 est un majorant. Pour tout élément x de A, l'inégalité x < 2 entraîne bien x ≤ 2.
2. Prenons maintenant un réel m strictement inférieur à 2. Le nombre est strictement supérieur à m et strictement inférieur à 2. Lorsque m est positif, x appartient donc à A : m ne majore pas A. Lorsque m est nul ou négatif, 1 appartient à A et dépasse m.
3. Ainsi, 2 est un majorant et tout réel plus petit échoue à majorer A. On obtient exactement .
Le contrôle est immédiat : 1,9, 1,99 ou 1,999 restent sous 2 et se rapprochent de cette valeur. Comme 2 n'appartient pas à A, ce supremum n'est pas un maximum. La représentation sur une droite graduée montre à la fois l'approche de 2 et son exclusion de l'ensemble.
En pratique
Pour encadrer toutes les valeurs possibles d'une quantité, on cherche d'abord des majorants, puis le plus petit. Avec les réels strictement compris entre 0 et 2, le choix 3 est correct mais trop large ; 2 donne la borne supérieure exacte.
Pour décider si la valeur plafond est réellement atteinte, on teste son appartenance à l'ensemble. Si elle appartient à l'ensemble, on peut parler de maximum ; sinon, seule la borne supérieure convient.
En analyse réelle, la borne supérieure remplace une « plus grande valeur » qui peut manquer. Cette distinction intervient notamment dans la construction de l'intégrale de Riemann, où des bornes sur des ensembles de valeurs servent à définir des approximations.
À ne pas confondre
Maximum. Le maximum doit appartenir à l'ensemble, tandis que la borne supérieure peut rester extérieure. L'intervalle ouvert des réels strictement compris entre 0 et 2 a pour supremum 2, mais n'a pas de maximum.
Un majorant quelconque. Tout majorant domine les éléments de l'ensemble, mais seul le plus petit est la borne supérieure. Pour le même intervalle, 3 est un majorant ; 2 est le supremum.
Maximum local. Un maximum local compare les valeurs d'une fonction près d'un point. Une borne supérieure porte ici sur un ensemble entier de réels. Un sommet local peut donc exister sans donner le plafond global de toutes les valeurs étudiées.
Limites et pièges
Ensemble vide. Dans ℝ, la définition usuelle ne lui attribue pas de borne supérieure réelle. Il faut donc vérifier que l'ensemble contient au moins un élément avant d'appliquer la propriété de complétude.
Ensemble non majoré. Si, pour chaque réel proposé, un élément de l'ensemble le dépasse, aucun majorant réel n'existe. L'ensemble des réels positifs est dans ce cas ; il n'a pas de supremum dans ℝ.
Plafond non atteint. Approcher une valeur d'aussi près que voulu ne signifie pas l'atteindre. Dans l'intervalle ouvert entre 0 et 2, les valeurs 1,9, 1,99 et 1,999 confirment l'approche, mais 2 reste exclu. Il faut conclure « supremum 2 », et non « maximum 2 ».
Cadre numérique. L'existence garantie dans la source concerne les sous-ensembles non vides et majorés de ℝ. Si l'on change d'ensemble de nombres, il faut contrôler séparément qu'un plus petit majorant existe dans ce nouveau cadre.
Pour aller plus loin
La borne supérieure intervient dans la construction de l'intégrale de Riemann, lorsque des encadrements successifs transforment une idée géométrique d'aire en définition précise. L'article L'émergence des fonctions discontinues replace cette intégration dans l'évolution de l'analyse.
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