axiome de complétude

Les décimaux 1,4, puis 1,41, puis 1,414 se rapprochent d’un nombre dont le carré vaut 2. Ils resserrent progressivement la cible, sans qu’un nombre rationnel puisse la représenter exactement.

La complétude dit que, dans ℝ, cette cible manquante existe : c’est √2. Plus généralement, lorsque des réels se rapprochent entre eux autant qu’on le souhaite, leur limite reste dans ℝ. De même, un ensemble non vide qui possède un plafond possède aussi un plus petit plafond réel. ℝ ne présente donc pas les « trous » que l’on rencontre dans ℚ.

L’axiome de complétude est la propriété qui garantit que certaines approximations ou certains encadrements déterminent encore un nombre réel. Une formulation porte sur les suites. Une suite de réels est dite de Cauchy lorsque ses termes finissent par être arbitrairement proches les uns des autres : pour tout réel ε strictement positif, il existe un entier N tel que, pour tous les entiers m et n supérieurs ou égaux à N, . Dans ℝ, toute suite de Cauchy converge vers un réel.

Une autre formulation porte sur l’ordre. Si A est une partie non vide de ℝ et si A est majorée, c’est-à-dire si un réel domine tous ses éléments, alors A possède une borne supérieure dans ℝ. Cette borne, notée $\sup A\backslash sup\; A$, est le plus petit des majorants de A. Elle n’appartient pas nécessairement à A.

Pour les nombres réels, ces deux formulations sont équivalentes. Dans une construction axiomatique de ℝ, l’une peut être choisie comme axiome et l’autre démontrée. La propriété échoue dans ℚ : des rationnels peuvent former une suite de Cauchy dont la limite, comme √2, n’est pas rationnelle.

Version séquentielle. Si une suite $(u_n)(u\_n)$ de nombres réels est de Cauchy, alors il existe un réel ℓ tel que ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{u}_n=\mathrm{\ell }\backslash lim\_\{n\backslash to+\backslash infty\}u\_n=\backslash ell$.

Version ordonnée. Si A est une partie non vide de ℝ et s’il existe un réel M tel que chaque élément x de A vérifie x ≤ M, alors il existe un unique réel s qui est le plus petit majorant de A. Ce réel s est la borne supérieure de A.

La version séquentielle s’applique à une suite dont tous les termes appartiennent à ℝ. Il faut vérifier le critère de Cauchy, qui compare deux termes assez éloignés dans la suite ; le simple fait que deux termes consécutifs se rapprochent ne suffit pas. La conclusion fournit une limite appartenant à ℝ.

La version par borne supérieure exige une partie de ℝ à la fois non vide et majorée. Elle fournit le plus petit majorant réel. Si l’ensemble est vide ou non majoré, cette formulation ne permet aucune conclusion dans ℝ.

Le choix du cadre est décisif. Dans ℚ, les approximations rationnelles 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; … forment une suite de Cauchy, mais leur cible √2 n’appartient pas à ℚ. Il faut alors travailler dans ℝ, ou dans un espace complété, pour obtenir la limite.

Approchons √2 par défaut. Pour tout entier n positif ou nul, a_n est le plus grand multiple non négatif de 10⁻ⁿ dont le carré ne dépasse pas 2. Les premières valeurs sont a₀ = 1, a₁ = 1,4, a₂ = 1,41 et a₃ = 1,414.

1. À chaque étape, le nombre cherché reste dans un intervalle décimal de largeur 10⁻ⁿ : [1 ; 2], puis [1,4 ; 1,5], puis [1,41 ; 1,42].

2. Si m est supérieur ou égal à n, a_m et a_n restent dans le même intervalle de largeur 10⁻ⁿ. Ainsi, : la suite est de Cauchy.

3. Par complétude de ℝ, la suite possède une limite réelle ℓ. Les encadrements imposent ℓ ≥ 0 et ℓ² = 2 ; par définition, ℓ = √2.

4. Chaque a_n est rationnel, mais √2 ne l’est pas. Dans ℚ, cette suite n’a donc aucune limite : elle révèle le trou que ℝ comble.

Le contrôle consiste à élever les bornes au carré : 1,41² = 1,9881 < 2 et 1,42² = 2,0164 > 2. L’encadrement contient bien √2.

Pour prouver l’existence d’une limite sans connaître sa valeur, on montre que la suite est de Cauchy. Dans ℝ, cela suffit. Si une formule explicite ou un théorème de convergence monotone est disponible, cette voie peut être plus directe.

Pour établir qu’un seuil réel existe, on décrit un ensemble non vide de valeurs admissibles et on trouve un majorant. La complétude fournit alors sa borne supérieure. Si une valeur admissible maximale est déjà identifiable, il est inutile de passer par ce principe d’existence.

Dans une démonstration d’analyse, le bon réflexe consiste à repérer où apparaît la complétude : passage d’approximations à une limite, choix d’un supremum, ou construction d’un objet par encadrements successifs. Le domaine doit toujours être précisé, car le même raisonnement peut échouer dans ℚ.

Propriété archimédienne. Elle affirme notamment qu’aucun réel n’est plus grand que tous les entiers. Elle ne garantit pas que les suites de Cauchy convergent : ℚ est archimédien, mais la suite rationnelle qui approche √2 n’y a pas de limite.

Compacité. La complétude garantit les limites des suites de Cauchy, tandis que toute suite à valeurs dans un espace compact possède une sous-suite convergente. ℝ est complet mais non compact ; un intervalle réel fermé et borné est, lui, compact.

Fermeture d’une partie. ℝ est complet comme espace, mais toutes ses parties ne le sont pas avec la distance usuelle. L’intervalle ouvert entre 0 et 1 contient la suite 1/2, 1/3, 1/4, … sans contenir sa limite 0 ; une partie de ℝ est complète exactement lorsqu’elle est fermée.

Termes voisins seulement. La condition $\mathrm{\mid }{u}_{n+1}-u_n\mathrm{\mid }\to 0|u\_\{n+1\}-u\_n|\backslash to0$ ne suffit pas à rendre une suite de Cauchy. Les sommes partielles 1 + 1/2 + … + 1/n ont des écarts consécutifs qui tendent vers 0, mais elles ne sont pas de Cauchy et croissent sans borne. Il faut comparer tous les termes d’une même queue de suite.

Changement de corps. Une suite rationnelle peut être de Cauchy sans converger dans ℚ. Avant d’invoquer la complétude, il faut donc vérifier que la limite est recherchée dans ℝ ou dans un autre espace dont la complétude a été établie.

Ensemble vide ou non majoré. La propriété de la borne supérieure ne s’applique pas à l’ensemble vide, ni à un ensemble tel que ℝ lui-même, qui n’a aucun majorant réel. Il faut d’abord établir les deux hypothèses, puis seulement nommer le supremum.

Équivalences dépendantes du cadre. Pour ℝ, complétude par les suites de Cauchy et propriété de la borne supérieure s’équivalent. Il ne faut pas transporter cette équivalence sans précaution à tout corps ordonné : la structure et la notion de convergence retenues doivent être précisées.

La fiche suite de Cauchy détaille le critère qui reconnaît une approximation convergente sans connaître sa limite.

La fiche Borne supérieure approfondit l’autre visage de la complétude : l’existence du plus petit majorant d’un ensemble réel.