Majorant

Imaginons tous les nombres strictement compris entre 0 et 1. Le nombre 1 est au-dessus de chacun d'eux : c'est un majorant. Les nombres 1,4 et 2 le sont aussi, mais 0,9 ne l'est pas, puisque certains nombres de l'ensemble le dépassent.

Parmi tous ces plafonds possibles, 1 est le plus bas. Il porte un nom particulier : la borne supérieure. Il n'a pourtant pas besoin d'appartenir à l'ensemble ; ici, 1 en est exclu.

Soit un ensemble ordonné E, muni d'une relation d'ordre notée ≤, et une partie A de E. Un élément m de E est un majorant de A lorsque chaque élément a de A est inférieur ou égal à m. Cette condition s'écrit :

Une partie est dite majorée dès qu'elle possède au moins un majorant. Sa borne supérieure, aussi appelée supremum et notée $\sup A\backslash sup\; A$, est le plus petit de tous ses majorants lorsqu'un tel élément existe. Elle est donc elle-même un majorant, et elle est inférieure ou égale à tout autre majorant. Dans les nombres réels, toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure : c'est la propriété de la borne supérieure. Dans un ensemble ordonné plus général, l'existence d'un majorant ne garantit pas celle d'un plus petit majorant. La notion symétrique, obtenue en inversant les inégalités, est celle de minorant. Ces relations interviennent notamment en analyse réelle et dans les treillis.

Dans les nombres réels munis de l'ordre usuel, considérons la partie A formée des nombres strictement compris entre 0 et 1.
Données : A est l'intervalle ouvert ]0, 1[ ; les trois candidats examinés sont 0,9, 1 et 1,4.

1. Tester 0,9 : le nombre 0,95 appartient à A et dépasse 0,9. Le candidat 0,9 n'est donc pas un majorant.
2. Tester 1 : tout nombre de A est strictement inférieur à 1, donc inférieur ou égal à 1. Le nombre 1 est un majorant.
3. Tester 1,4 : tout nombre de A est inférieur à 1, puis à 1,4. Le nombre 1,4 est aussi un majorant.
4. Comparer les majorants : un candidat négatif est dépassé par 0,5, qui appartient à A. Pour un candidat compris entre 0 inclus et 1 exclu, sa moyenne avec 1 appartient à A et lui est supérieure. Aucun nombre inférieur à 1 ne majore donc A : 1 est le plus petit majorant.

On conclut que $\sup A=1\backslash sup\; A=1$. Le contrôle décisif est double : 1 majore bien A, puis tout nombre placé plus bas échoue. La figure montre aussi que 1 n'appartient pas à l'intervalle ouvert ; la borne supérieure n'est donc pas un maximum de A.

Pour prouver qu'un ensemble de réels est borné au-dessus, on cherche un plafond valable pour tous ses éléments. N'importe quel majorant suffit ; il est inutile de déterminer immédiatement le plus petit.

Pour repérer la meilleure valeur atteignable dans un problème d'optimisation, on examine la borne supérieure. Si elle appartient à l'ensemble des valeurs possibles, elle est aussi un maximum ; sinon, elle décrit seulement une limite que l'on peut approcher.

Dans un treillis, on cherche le plus petit majorant commun de plusieurs éléments. Lorsque seul un ordre partiel est disponible, il faut vérifier son existence au lieu de supposer que tous les majorants sont comparables.

Majorant et maximum. Un majorant peut être extérieur à la partie, tandis qu'un maximum doit lui appartenir. Pour A = ]0, 1[, le nombre 1 est un majorant, mais A n'a pas de maximum.

Majorant et minorant. Le sens de l'inégalité les sépare : un majorant est supérieur ou égal à tous les éléments, un minorant leur est inférieur ou égal. Pour A = ]0, 1[, 1 majore A et 0 la minore.

Majorant et borne supérieure. Un ensemble peut avoir de nombreux majorants, mais au plus une borne supérieure. Pour A = ]0, 1[, 1 et 1,4 sont des majorants ; seul 1 est le plus petit d'entre eux.

Une partie non majorée n'a pas de borne supérieure dans les réels. L'ensemble des réels positifs dépasse tout candidat réel. Le symptôme est qu'après chaque plafond proposé, on peut encore choisir un élément plus grand ; il faut alors conclure à l'absence de majorant réel.

L'appartenance ne doit pas être supposée. Pour A = ]0, 1[, la borne supérieure vaut 1 mais 1 n'appartient pas à A. Avant de parler de maximum, il faut donc vérifier séparément que la borne supérieure appartient à la partie.

L'ensemble vide est un cas de convention et de cadre. Tout élément le majore, puisque aucun élément ne contredit l'inégalité. Sa borne supérieure existe seulement si l'ensemble ordonné ambiant possède un plus petit élément ; dans les réels usuels, elle n'existe pas.

Un ordre partiel peut laisser plusieurs plafonds incomparables. Même si une partie a des majorants, aucun ne doit nécessairement être inférieur à tous les autres. Il faut vérifier l'existence d'un plus petit majorant ; la propriété garantie pour les parties non vides et majorées vaut dans les réels, pas dans tout ensemble ordonné.

Borne supérieure. Approfondir le plus petit des majorants et son rôle lorsque la valeur limite n'appartient pas à l'ensemble.

Minorant. Étudier la notion symétrique et inverser correctement les inégalités dans un ensemble ordonné.

Borne inférieure. Relier les minorants à leur plus grand élément et compléter le vocabulaire des bornes.