Minorant

Prenons tous les nombres strictement supérieurs à 2 et inférieurs ou égaux à 5. Le nombre 1 reste sous chacun d'eux ; 2 aussi. En revanche, 3 ne convient pas, puisque l'ensemble contient des nombres situés entre 2 et 3.

Les nombres 1 et 2 sont donc des minorants : ils constituent des planchers que les valeurs de l'ensemble ne franchissent pas. Parmi tous ces planchers, 2 est le plus élevé.

Soit un ensemble E muni d'un ordre, et soit A une partie de E. Un élément m de E est un minorant de A lorsque $\mathrm{\forall }a\in A,m\le a\backslash forall\; a\backslash in\; A,\backslash quad\; m\backslash leq\; a$. Le minorant n'a pas besoin d'appartenir à A. Une partie est dite minorée dès qu'elle possède au moins un minorant.

La borne inférieure de A, aussi appelée infimum et notée $\inf A\backslash inf\; A$, est un minorant qui est supérieur ou égal à tous les autres minorants. Elle n'existe pas nécessairement dans un ensemble ordonné quelconque. Dans les nombres réels, la propriété de complétude garantit cependant que toute partie non vide et minorée possède une borne inférieure réelle.

Si la borne inférieure appartient à A, elle est le minimum de A. Sinon, A peut avoir une borne inférieure sans avoir de plus petit élément. La notion duale est celle de majorant : on inverse le sens de l'inégalité et l'on cherche un plafond commun plutôt qu'un plancher commun.

Dans les nombres réels, considérons l'intervalle A = (2, 5].
Données : A contient les réels strictement supérieurs à 2 et inférieurs ou égaux à 5 ; la borne 2 est exclue ; la borne 5 est incluse.

1. Tester 1 : pour tout nombre a de A, on a 1 ≤ 2 < a. Donc 1 est un minorant.
2. Tester 2 : tout nombre a de A vérifie 2 < a. Donc 2 est aussi un minorant.
3. Tester un réel m supérieur à 2 : le nombre a = (m + 2)/2 vérifie 2 < a < m. Lorsque m ≤ 5, ce nombre appartient à A ; lorsque m > 5, le nombre 5 appartient à A et vérifie 5 < m. Aucun m > 2 n'est donc minorant.
4. Conclure : les minorants sont exactement les réels m ≤ 2, et leur plus grand élément est 2.

Ainsi, $\inf A=2\backslash inf\; A=2$. Comme 2 n'appartient pas à A, l'intervalle A n'a pas de minimum. Le contrôle se refait en choisissant n'importe quel nombre supérieur à 2 : l'étape 3 fournit toujours un élément de A plus petit que lui. La figure montre le plancher 2 sans transformer ce point exclu en élément de A.

Pour encadrer une quantité, on cherche un nombre qui reste inférieur ou égal à toutes ses valeurs possibles. Si l'on veut seulement un plancher garanti, un minorant suffit ; si l'on veut le meilleur plancher disponible, il faut déterminer la borne inférieure.

Pour montrer qu'une partie des réels est minorée, on exhibe un candidat puis on vérifie l'inégalité pour chaque élément. Pour montrer qu'un candidat n'est pas un minorant, un seul élément de la partie placé en dessous constitue un contre-exemple.

Pour chercher un minimum, on contrôle d'abord la borne inférieure. Si elle appartient à la partie, elle en est le minimum ; si elle n'y appartient pas, comme 2 pour l'intervalle (2, 5], on conserve l'infimum mais il n'existe aucun minimum.

Minorant et borne inférieure. Un minorant quelconque reste sous toute la partie ; la borne inférieure est le plus grand de ces minorants. Pour A = (2, 5], 1 est un minorant, tandis que 2 est la borne inférieure.

Minorant et minimum. Un minimum appartient à la partie et est inférieur ou égal à chacun de ses éléments. Un minorant peut rester extérieur à la partie : 2 minore A = (2, 5], mais A n'a pas de minimum.

Minorant et majorant. Le minorant est placé sous tous les éléments ; le majorant est placé au-dessus de tous. Pour A = (2, 5], 2 est un minorant et 5 est un majorant, mais ces deux rôles viennent d'inégalités de sens opposés.

Une partie vide change le test. Tout élément de l'ensemble ordonné minore la partie vide, puisqu'aucun élément ne peut contredire l'inégalité. C'est pourquoi la propriété de complétude citée pour les réels exige une partie non vide.

Être minoré ne suffit pas dans tout ordre. Une partie peut posséder plusieurs minorants sans que l'un d'eux soit plus grand que tous les autres. Il faut vérifier l'existence d'un plus grand minorant avant de parler de borne inférieure.

Une partie non minorée n'a pas d'infimum réel. Dans les réels, l'ensemble de tous les nombres réels descend sous chaque candidat. Le symptôme est qu'un nombre plus petit que le candidat reste toujours dans la partie ; il ne faut alors annoncer aucune borne inférieure réelle.

L'ordre doit être précisé. Le mot « inférieur » dépend de la relation d'ordre choisie. Avant de tester un minorant, il faut identifier l'ensemble ordonné et la relation utilisée, sans supposer qu'il s'agit toujours de l'ordre habituel des nombres.

Borne inférieure. Approfondir le plus grand des minorants et son rôle lorsque le minimum n'existe pas.

Majorant. Étudier la notion duale, obtenue en inversant le sens des inégalités.

Borne supérieure. Relier les majorants à leur plus petit élément et compléter le vocabulaire des bornes.