AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction bornée
Une fonction f définie sur un domaine D est dite bornée sur D si elle est à la fois minorée et majorée sur ce domaine, c'est-à-dire s'il existe deux réels m et M tels que m ≤ f(x) ≤ M pour tout x appartenant à D. Lorsque D est non vide, la borne inférieure de f sur D est le plus grand des minorants, et la borne supérieure est le plus petit des majorants. Une fonction bornée ne tend donc vers l'infini en aucun point ni en aucune direction de son domaine. Parmi les exemples classiques, les fonctions sinus et cosinus sont bornées sur ℝ, à valeurs dans [−1, 1]. Le théorème des valeurs extrêmes garantit que toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes sur cet intervalle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une fonction bornée sur un domaine précis.
- Distinguer minorant, majorant, borne inférieure et borne supérieure.
- Vérifier pas à pas que le sinus est borné sur ℝ.
- Identifier les hypothèses du théorème des valeurs extrêmes.
En clair
Imaginez le tracé du sinus qui ondule sans jamais dépasser 1 ni descendre sous −1. La courbe peut monter, baisser et recommencer indéfiniment, mais elle reste enfermée entre deux niveaux horizontaux.
Une fonction est bornée lorsque toutes les valeurs qu’elle produit restent ainsi entre un plancher et un plafond sur le domaine étudié. Ces nombres encadrants n’ont pas besoin d’être uniques : l’important est qu’au moins une paire existe.
Définition
Considérons une fonction notée f, définie sur un domaine noté D. Elle est bornée sur D lorsqu’il existe deux nombres réels : un minorant noté m et un majorant noté M. Chaque valeur f(x), pour tout nombre x appartenant à D, doit être comprise entre eux.
Cette condition s’écrit : . Être bornée signifie donc être à la fois minorée et majorée sur le même domaine. Les nombres m et M assurent l’encadrement, mais ne sont pas nécessairement les bornes les plus serrées.
Lorsque D est non vide, la borne inférieure est le plus grand de tous les minorants ; la borne supérieure est le plus petit de tous les majorants. Une fonction bornée ne tend vers l’infini ni en un point ni dans une direction de D. Enfin, toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes : c’est le théorème des valeurs extrêmes.
De quoi c'est fait
Cinq éléments organisent la notion. Le domaine D précise les valeurs de x examinées. La fonction f associe à chacune une valeur f(x). Un minorant m reste inférieur ou égal à toutes ces valeurs, tandis qu’un majorant M leur reste supérieur ou égal. Enfin, l’ensemble des valeurs produites doit tenir dans l’intervalle [m, M].
L’encadrement dépend donc à la fois de la règle f et du domaine D : changer le domaine peut changer les bornes. Les minorants déterminent la borne inférieure, et les majorants déterminent la borne supérieure. Le tracé, sa couleur ou son échelle ne définissent pas une fonction bornée ; seules comptent les valeurs effectivement prises sur D et l’existence d’un encadrement commun.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction sinus sur le domaine des nombres réels ℝ. Les données sont la fonction f définie par f(x) = sin(x), le minorant proposé m = −1 et le majorant proposé M = 1.
1. Pour chaque réel x, la valeur sin(x) appartient à l’intervalle [−1, 1].
2. On traduit cette donnée par l’encadrement .
3. Le nombre −1 est donc un minorant et le nombre 1 un majorant. La fonction sinus est à la fois minorée et majorée sur ℝ : elle est bornée sur ce domaine.
Le contrôle est immédiat : toute valeur annoncée doit rester dans [−1, 1]. Le même raisonnement s’applique à la fonction cosinus, elle aussi à valeurs dans cet intervalle.
En pratique
Pour étudier le comportement global d’une fonction, on cherche deux nombres qui encadrent toutes ses valeurs sur le domaine choisi. Si seul un plafond apparaît, on conclut seulement que la fonction est majorée ; il faut aussi un plancher pour la dire bornée.
Sur un intervalle fermé borné, la continuité offre un raccourci : le théorème des valeurs extrêmes garantit l’existence des bornes et affirme qu’elles sont atteintes. Sans ces hypothèses réunies, il faut vérifier directement l’encadrement.
Devant un graphique, on repère si toute la courbe demeure entre deux niveaux horizontaux. Cette lecture donne une intuition ; la conclusion rigoureuse vient ensuite d’une inégalité valable pour chaque point du domaine.
À ne pas confondre
Fonction majorée. Elle possède un plafond, mais pas nécessairement de plancher. Le critère décisif est l’existence simultanée d’un minorant : sans lui, la fonction n’est pas bornée.
Fonction minorée. Elle possède un plancher, mais pas nécessairement de plafond. Même si toutes ses valeurs dépassent un réel m, il faut encore trouver un réel M qui les majore.
Fonction continue. Continuité et bornitude sont deux propriétés distinctes. Le cas qui les relie dans la source exige un intervalle fermé borné : dans ce cadre, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes.
Limites et pièges
Le domaine est indispensable. Le verdict porte toujours sur un domaine D précis. Si D change, l’encadrement doit être vérifié de nouveau ; conserver automatiquement les mêmes bornes est une erreur.
Un encadrement n’est pas forcément optimal. Des nombres m et M peuvent prouver la bornitude sans être les meilleures bornes. Pour obtenir l’encadrement le plus serré, il faut chercher le plus grand minorant et le plus petit majorant.
Atteindre une borne est une information supplémentaire. Le théorème des valeurs extrêmes l’assure pour une fonction continue sur un intervalle fermé borné. En dehors de ce cadre, l’existence d’un encadrement ne suffit pas à l’affirmer.
Le seuil charnière est double. Dans l’exemple du sinus, −1 seul prouve que la fonction est minorée et 1 seul qu’elle est majorée. C’est l’encadrement complet −1 ≤ sin(x) ≤ 1 qui prouve qu’elle est bornée.
Pour aller plus loin
Borne inférieure — Pour préciser comment le plus grand des minorants resserre l’encadrement d’une fonction.
Borne supérieure — Pour préciser comment le plus petit des majorants fixe le meilleur plafond disponible.
fonction continue — Pour approfondir l’hypothèse centrale du théorème des valeurs extrêmes sur un intervalle fermé borné.
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