Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Borne inférieure
La borne inférieure (ou infimum) d'un ensemble A de réels est le plus grand des minorants de A, c'est-à-dire le plus grand réel m tel que m soit inférieur ou égal à tous les éléments de A. Si A est non vide et minoré, l'infimum existe dans R par la propriété de la borne inférieure. L'infimum peut appartenir ou non à A : s'il appartient à A, c'est le minimum de A. La borne inférieure généralise la notion de minimum aux ensembles qui ne le réalisent pas nécessairement.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le plus grand des minorants d'un ensemble réel.
- Distinguer une borne inférieure d'un minimum.
- Vérifier sur un intervalle que l'infimum peut ne pas être atteint.
- Reconnaître les hypothèses d'existence dans les nombres réels.
En clair
Imaginez tous les nombres strictement supérieurs à 2 et inférieurs ou égaux à 5. Aucun ne descend jusqu'à 2, mais aucun nombre plus grand que 2 ne reste sous chacun d'eux. Le nombre 2 marque donc leur frontière basse : c'est la borne inférieure de l'ensemble.
Cette frontière n'a pas besoin de faire partie de l'ensemble. Ici, 2 est exclu : la borne inférieure existe, mais l'ensemble n'a pas de plus petit élément.
Définition
Soit A un ensemble de nombres réels. Un réel m est un minorant de A lorsque m est inférieur ou égal à chaque élément de A. La borne inférieure de A, aussi appelée infimum et notée inf A, est le plus grand de tous ses minorants. Elle vérifie donc deux idées à la fois : elle minore A, et aucun nombre strictement plus grand ne minore encore A.
La notation exacte peut se condenser ainsi, après avoir introduit A et m : . Dans les nombres réels, tout ensemble non vide et minoré possède une borne inférieure réelle. Cette existence exprime la complétude de ℝ ; elle ne dit pas que la frontière appartient à A.
Si inf A appartient à A, cet élément est le minimum de A. Sinon, A possède bien un infimum, mais aucun minimum. La borne inférieure étend ainsi la notion de minimum aux ensembles qui s'approchent de leur frontière basse sans nécessairement l'atteindre.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble A des nombres réels strictement supérieurs à 2 et inférieurs ou égaux à 5. Les données sont : la frontière basse 2 est exclue, la frontière haute 5 est incluse, et tous les réels situés entre elles appartiennent à A.
1. Vérifions que 2 est un minorant : chaque nombre de A est strictement supérieur à 2, donc supérieur ou égal à 2.
2. Prenons un réel b strictement supérieur à 2. Le nombre situé à mi-chemin entre 2 et b vaut . Si b ne dépasse pas 5, alors x appartient à A et x est strictement inférieur à b : b n'est donc pas un minorant. Si b dépasse 5, le nombre 5 appartient à A et lui est inférieur : b n'est pas davantage un minorant.
3. Aucun minorant ne peut donc être plus grand que 2. Ainsi, inf A = 2. Comme 2 n'appartient pas à A, cet ensemble n'a pas de minimum. Le contrôle consiste à choisir 2,1, puis 2,01 : ces éléments de A se rapprochent de 2 sans jamais l'atteindre.
En pratique
Pour lire un intervalle, on repère sa frontière gauche puis on regarde si elle est incluse. L'intervalle des réels strictement supérieurs à 2 et inférieurs ou égaux à 5 a pour borne inférieure 2, mais pas de minimum.
Pour comparer une famille de valeurs par le bas, on cherche d'abord tous les nombres qui restent sous chaque valeur. On retient ensuite le plus grand de ces minorants, même si aucune valeur de la famille ne lui est égale.
Si le problème demande un élément effectivement atteint, la borne inférieure ne suffit pas : il faut vérifier son appartenance à l'ensemble. Lorsqu'elle appartient à l'ensemble, on peut alors parler de minimum.
À ne pas confondre
Minimum. Le minimum doit appartenir à l'ensemble, tandis que la borne inférieure peut en être absente. Pour les réels strictement supérieurs à 2 et inférieurs ou égaux à 5, l'infimum vaut 2, mais il n'existe aucun minimum.
Minorant. Un minorant est n'importe quel réel inférieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble ; la borne inférieure est le plus grand d'entre eux. Dans l'exemple, 0 et 1 sont des minorants, mais seule la valeur 2 est l'infimum.
Borne supérieure. Elle décrit la frontière haute avec des majorants, et non la frontière basse avec des minorants. Dans l'exemple, 2 est la borne inférieure et 5 la borne supérieure.
Limites et pièges
Ensemble vide. L'hypothèse « non vide » est nécessaire à l'énoncé usuel dans ℝ. Il ne faut pas lui attribuer automatiquement une borne inférieure réelle ; une convention dans les réels étendus relève d'un autre cadre.
Ensemble non minoré. Si des éléments descendent sous tout réel proposé, aucun minorant réel n'existe. L'ensemble des entiers relatifs, par exemple, n'a donc pas de borne inférieure dans ℝ.
Frontière non atteinte. L'absence de 2 dans l'ensemble de l'exemple n'empêche pas inf A = 2. Le symptôme du piège est la conclusion « pas de minimum, donc pas de borne inférieure » ; il faut tester les minorants plutôt que l'appartenance seule.
Cadre numérique. La propriété d'existence invoquée vaut dans ℝ pour un ensemble non vide et minoré. Dans un sous-ensemble non complet de ℝ, une frontière réelle peut ne pas appartenir au cadre choisi ; il faut alors préciser l'ensemble dans lequel l'infimum est recherché.
Pour aller plus loin
Minorant — Pour examiner la condition commune à tous les nombres placés sous un ensemble.
Minimum — Pour approfondir le cas où la frontière basse appartient effectivement à l'ensemble.
Borne supérieure — Pour étudier la notion symétrique construite à partir des majorants.
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