Minimum

Imaginez une courbe tracée au-dessus d'un axe. Son minimum est la hauteur la plus basse réellement atteinte par la courbe dans la zone observée. Pour f(x) = (x − 2)² + 1 entre 0 et 5, cette hauteur vaut 1 : elle est atteinte lorsque x vaut 2.

Un creux peut n'être le plus bas que dans son voisinage : c'est un minimum local. Le minimum global, lui, résiste à la comparaison avec tous les points du domaine. Une même fonction peut avoir plusieurs creux locaux, mais aucun minimum si elle descend sans jamais atteindre de valeur la plus basse.

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble D. Un nombre m est le minimum de f sur D s'il existe un point c de D tel que m = f(c) et si, pour tout point x de D, f(c) ≤ f(x). Le nombre m est la valeur minimale ; le point c qui la réalise est un minimiseur. Plusieurs minimiseurs peuvent donner le même minimum.

Le point c est un minimiseur local s'il existe un voisinage de c dans lequel f(c) ≤ f(x) pour tous les points x appartenant à la fois à D et à ce voisinage. Tout minimiseur global est local, mais un minimiseur local peut être dépassé par un creux plus bas ailleurs. L'existence n'est pas automatique. Si D est un compact non vide et si f est continue sur D, le théorème de Weierstrass assure que f atteint un minimum et un maximum. Sur la droite réelle, un intervalle fermé et borné est compact.

Si f est dérivable et si c est un point intérieur du domaine où f possède un minimum local, alors f′(c) = 0 : c est un point critique. Cette condition est nécessaire, mais pas suffisante. Il faut étudier le signe de la dérivée, comparer les valeurs ou utiliser un critère de courbure. Aux extrémités du domaine, un minimum peut exister sans dérivée nulle.

On cherche le minimum de la fonction f définie par f(x) = (x − 2)² + 1 sur l'intervalle D = [0, 5]. Les données sont la formule de f, les deux bornes 0 et 5, et sa dérivée f′(x) = 2(x − 2).

1. Chercher les points critiques. Résoudre f′(x) = 0 donne 2(x − 2) = 0, donc x = 2. Ce point appartient bien à [0, 5].

2. Comparer toutes les valeurs candidates. On calcule f(0) = 5, f(2) = 1 et f(5) = 10. Pour une fonction continue sur un intervalle fermé, les candidats sont ici le point critique et les deux extrémités.

3. Conclure. La plus petite valeur est 1. Le minimum global de f sur [0, 5] vaut donc 1 et son unique minimiseur est x = 2.

4. Contrôler sans la dérivée. Le carré (x − 2)² est toujours positif ou nul. Ainsi f(x) ≥ 1 pour tout x, avec égalité seulement lorsque x = 2. Ce second raisonnement confirme à la fois la valeur minimale et l'unicité du minimiseur.

Pour régler un paramètre, on traduit d'abord le coût, l'erreur ou la durée par une fonction. Si le domaine est un petit ensemble fini, comparer toutes les valeurs donne directement le minimum global. Si le domaine est continu, l'étude des variations évite cette énumération.

Pour une fonction continue sur un intervalle fermé, on examine les points intérieurs où la dérivée s'annule, ceux où elle n'existe pas et les extrémités, puis on compare leurs images. Oublier les bornes peut faire manquer la meilleure valeur. Lorsque la formule est un carré ajouté à une constante, comme dans l'exemple, compléter le carré donne souvent un contrôle plus direct que la dérivation.

Avec plusieurs variables, l'annulation de toutes les dérivées partielles est une condition nécessaire pour un minimiseur local intérieur aux points où ces dérivées existent. On examine aussi la frontière et les points où la fonction n'est pas dérivable. Si la fonction est deux fois continûment dérivable, une hessienne définie positive en un point où les dérivées partielles s'annulent garantit un minimum local strict. Ce test local ne remplace pas une comparaison globale lorsque le domaine contient d'autres régions ou une frontière.

Minimum et minimiseur. Le minimum est une valeur de sortie ; le minimiseur est un point du domaine où cette valeur est atteinte. Dans l'exemple, 1 est le minimum et 2 est le minimiseur.

Minimum et borne inférieure. Une borne inférieure n'a pas besoin d'être atteinte. Sur l'intervalle ouvert ]0, 5], la fonction x ↦ x a pour borne inférieure 0, mais aucun minimum, car 0 n'appartient pas au domaine.

Minimum et maximum local. Au voisinage d'un minimum local, les valeurs ne sont pas plus petites ; au voisinage d'un maximum local, elles ne sont pas plus grandes. Le sens de l'inégalité tranche immédiatement.

Le domaine n'inclut pas sa limite. Sur ]0, 5], la fonction x ↦ x prend des valeurs aussi proches de 0 que l'on veut sans atteindre 0. Le symptôme est l'absence de point réalisant la borne inférieure ; il faut alors parler d'infimum, pas de minimum.

Une dérivée nulle ne suffit pas. Pour f(x) = x³ sur la droite réelle, f′(0) = 0, mais 0 n'est ni un minimum ni un maximum local. Il faut contrôler le signe de f′ autour du point ou comparer directement les valeurs.

Une extrémité échappe au critère intérieur. Sur [0, 5], la fonction x ↦ x atteint son minimum en 0 alors que sa dérivée vaut 1. Il faut donc toujours tester la frontière du domaine en plus des points critiques intérieurs.

Le minimum local n'est pas forcément unique ni global. Plusieurs creux peuvent coexister et plusieurs points peuvent partager la même valeur minimale. Pour conclure globalement, il faut comparer tous les candidats pertinents sur le domaine entier.

L'article point critique précise pourquoi une dérivée nulle fournit un candidat intérieur, sans garantir à elle seule un minimum.

La fiche Maximum local permet de comparer les deux sens de variation autour d'un extremum et les inégalités qui les caractérisent.